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Reccurence

Posté par
flight
31-07-20 à 18:45

Bonsoir

assez facile ... Montrez que  pour tout n 3 on a  n² > 2n+ 1

Posté par
Imod
re : Reccurence 31-07-20 à 19:06

C'est trop facile , il n'y a pas une erreur dans l'énoncé ? (n-1)²>3 .

Imod

Posté par
flight
re : Reccurence 31-07-20 à 20:26

non pas d'erreur  

Posté par
flight
re : Reccurence 31-07-20 à 20:26

ca peut paraitre evident mais il faut le demontrer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reccurence 31-07-20 à 21:15

Bonsoir,
D'accord avec Imod, trop facile et sans récurrence comme le titre voudrait nous le faire croire.
Je complète sa réponse :
Si n 3 alors n-1 2 ; donc (n-1)2 4.
Ce qui donne son (n-1)2 > 3.
Et aussi (n-1)2 > 2 qui est équivalent à n² > 2n+ 1.

Posté par
mousse42
re : Reccurence 31-07-20 à 22:14

En voici une autre récurrence


Tous les chevaux sont de même couleur

P(n) : n chevaux sont de même couleur

Initialisation
P(1) : trivial pour un cheval
hérédité :
On suppose que n chevaux ont la même couleurs

Soit n+1 chevaux, on retire 1 cheval (C1), par hyptothèse les n chevaux ont la même couleur, j'en retire un autre (C2) et je place C1 parmi les n-1 qui ont la même couleur que C2, par hypothèse ils sont de même couleurs donc les n+1 chevaux ont la même couleur.
Conclusion :
On déduit donc du principe de récurrence que tous les chevaux ont la même couleur

Posté par
dpi
re : Reccurence 01-08-20 à 08:59

Si deux C se suivent alors deux R ne servent à rien.
Si deux R se suivent alors deux C c'est trop

Posté par
flight
re : Reccurence 01-08-20 à 17:18

Elegante demonstration de Sylvieg qui n'a toutefois pas utilisé la récurrence

Posté par
flight
re : Reccurence 01-08-20 à 17:19

et qui a habillement su jouer sur le sens strict des inégalités qu'elle a employé

Posté par
flight
re : Reccurence 01-08-20 à 17:20

...c'est un exercice simple au premier abord mais pas si simple que ca quand meme

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reccurence 01-08-20 à 18:37

C'est Imod qu'il faut féliciter !
Utiliser une récurrence pour ça
Une autre démonstration élémentaire en utilisant la forme canonique de x2 - 2x-1 :
n2 > 2n+1 (n-1)2 2 |n-1| > 2

Posté par
carpediem
re : Reccurence 01-08-20 à 18:59

salut

puisque flight me parle de trois alors j'écris simplement :

n^2 - 2n - 1 = ?? \ge (n - 3)(n + 1) \ge 0 dès que n \ge 3

avec ?? =

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reccurence 01-08-20 à 19:57

Oui, autant utiliser 3 :
Avec P(x) = x2-2x-1, on a P(3) = 2.
On factorise donc P(x) - 2 par (x-3) :
P(x) - 2 = (x-3)(x+1).
D'où P(x) 2 dès que x 3.

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