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Réccurence
Bonjour, voici un exercice que je fais pour m'entrainer pouvez vous me dire si il y a des erreurs merci d'avance
On considère la suite (Un) définie par U0 =2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 0,2Un + 3 * 0,5n
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
Un et supérieur ou égal 3,75 *0,5n
Ma réponse:
Notons Pn la propriété : Un >= 3,75 * 0,5n
Initialisation: Pour n=1 U1>= 3,75 * 0,51
3,4 >= 1,875 Donc P1 est vraie
Hérédité: Supposons qu'il existe un entier k >= 1 pour lequel Pk soit vraie
ie: Uk >= 3,75 * 0,5 k
Et montrons qu'alors Pk+1 est vraie
ie: Uk+1 >= 3,75 * 0,5 k+1
On a : Uk >= 3,75 * 0,5k
0,2Uk >= 3,75 * 0,5k * 0,2
0,2Uk + 3 * 0,5 k >= 0,75 * 0,5 k + 3 * 0,5k
Uk+1 >= 0,5k * ( 0,75 +3 )
>= 0,5k * 3,75
Donc Pk+1 est vraie
Pour tout entier n>=1, Pn est vraie
Salut,
Ton initialisation n'est pas bien rédigée ; d'autre part, tu n'es pas arrivé exactement à ce que tu voulais prouver, pour l'hérédité...
salut yzz
Après avoir réfléchis je pense que mon erreur est à la 4e ligne du on a, quand j'ai voulu factoriser mais je ne sais pas comment faire autrement.
Non, il n'y a pas d'erreur : on obtient bien Uk+1 
0,5k * 3,75.
Mais cela implique que l'on a aussi Uk+1 0,5k+1 * 3,75 : vois tu pourquoi ?
Il y a une deuxième question on me demande de déduire que la suite (Un) est décroissante.
J'ai écrit :
Notons Pn la propriété : Un+1=<Un
Initialisation: Pour n=1 0,2 * U1 + 3 * 0,5 1 =< U1
0,2 * 3,4 + 3 * 0,5 1 =< 3,4
Donc P1 est vraie
Hérédité: Supposons qu'il existe un entier k >= 1 pour lequel Pk soit vraie
ie Uk+1 =<Uk
Et montrons qu'alors Pk+1 est vraie.
ie Uk+1+1. =<. Uk+1
Uk+2 =< Uk+1
On a : UK+1 =< Uk
0,2 Uk+1. =< 0,2 Uk
0,2 Uk+1 + 3 * 0,5 k =< 0,2 Uk. + 3. * 0,5
k
Uk+2=< Uk+1
Donc Pk+1 est vraie
Pour tout entier n >= 1, Pn est vraie
Pn est initialisé à n=1 et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n appartient IN.
Donc la suite ( Un) est décroissante.
Après on me pose une troisième question où il faut que je justifie que la suite est convergente.
J'ai mis que la suite est décroissante et est minoré donc elle est convergente.
Pouvez-vous me dire si c'est correct. Merci.
Bonjour,
Puisque personne ne t'a répondu, je me lance en souhaitant que ce n'est pas trop tard.
Non, il n'y a pas d'erreur : on obtient bien Uk+1
0,5k * 3,75.
Mais cela implique que l'on a aussi Uk+1
0,5k+1 * 3,75 : vois tu pourquoi ?1 > 0,5
Or
....
Dis-moi si c'est plus clair et si tu veux que je regarde aussi ton dernier message.
Une remarque : tu aurais du écrire tout l'énoncé dès le premier message.
Pour deux raisons :
Un exercice forme un tout. Si on voit quel est l'objectif avec la dernière question, on va mieux comprendre ce qu'il faut faire dans les précédentes.
Des élèves s'entrainent avec les sujets postés par d'autres. Le tien est trop embrouillé avec mélange des questions et des aides pour qu'ils puissent en tirer profit.
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