Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Reccurence somme x puissznce 2k

Posté par
Molotov79 19-02-19 à 11:16

Bonjour je demande de l'aide dans un exercice sur le quel je bloque , il s'agit de démontrer par récurrence que pour pour entier non nul et reel strictement supérieur à -1
\sum_{k=0}^{2n-1}{(-x)^k}=\frac{1}{1+x}-\frac{x^{2n}}{1+x}

Ce que j'ai fait :
Initialisation (triviale)
Hérédité supposons que cela soit vraie au rang n et demontrer qu'elle est vraie au rang n+1

\sum_{k=0}^{2n+1}{(-x)^{2k}}=\sum_{k=0}^{2n-1}{(-x)^{2k}}+\frac{1}{x+1}-\frac{x^{4n+2}}{1+x}=\frac{1}{x+1}-\frac{x^{2n}}{1+x}+\frac{1}{x+1}-\frac{x^{4n+2}}{1+x}
Aidez moi svp

Posté par
flightre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:21

salut

Citation :
pour entier non nul et reel
  comment c'est possible?

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:38

C'est vérifié je rencontre souvent cette proposition mais je ne sais point la démontrer !

Posté par
flightre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:39

..tu peux commencer par decomposer

(-x)k   pour k compris entre 0 et 2n+1

Posté par
flightre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:40

..et en faisant sortir les deux derniers termes de la somme ce qui va te permettre de retomber sur la somme donnée dans l'enoncé

Posté par
flightre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:42

un coup de pouce  ..   (-x)2n+1 + (-x)2n + de l'enoncé

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 11:55

D'abord ,quelle est mon erreur ?
Que dois je faire ?

Posté par
malou Webmasterre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:10

Citation :
il s'agit de démontrer par récurrence que pour pour entier non nul et reel strictement supérieur à -1


énoncé mal recopié

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:27

X strictement supérieur à -1 pardon

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:27

malou une aide serait bienvenue

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:51

salut

pourquoi les exposants se transforment de k en 2k ?

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:53

Salut carpediem
Où ça ?

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 12:56

Molotov79 @ 19-02-2019 à 11:16

\sum_{k=0}^{2n-1}{(-x)^k}=\frac{1}{1+x}-\frac{x^{2n}}{1+x}

\sum_{k=0}^{2n+1}{(-x)^{2k}} = ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 13:04

Petite erreur c'est bien k à la deuxième ligne , alors une aide stp ?!

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 13:06

voir les msg de flight ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 13:23

J'ai pas compris ces messages , que veut il dire ?

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:12

un peu de sérieux !!!

\sum_0^{2n + 1} (-x)^k = \sum_0^{2n - 1} (-x)^k + ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:21

\sum_0^{2n + 1} (-x)^k = \sum_0^{2n - 1} (-x)^k + (-x)<sup>2n+1</sup>+(-x)<sup>2n</sup>

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:22

Oh non ! Je veux dire:
\sum_0^{2n + 1} (-x)^k = \sum_0^{2n - 1} (-x)^k + (-x)^2n + (-x)^2n+1

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:23

Molotov79 @ 19-02-2019 à 14:22

Oh non ! Je veux dire:
\sum_0^{2n + 1} (-x)^k = \sum_0^{2n - 1} (-x)^k + (-x)^{2n}+ (-x)^{2n+1}

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:42

ben maintenant utilise l'hypothèse de récurrence ... puis réduis ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 14:58

Ça sort facilement merci flight et carpediem
Mais j'ai une question pourquoi flight a décomposé ? Pourquoi n'a t-il pas écris Pn+1 =Pn +(n+1)ème terme ???

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 15:15

parce que quand on passe de 2n - 1 à 2(n + 1) - 1 = 2n + 1 il y a 2n et 2n + 1 ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 15:18

L'efficacité c'est carpediem :D
Bon et le problème avec le factorielle ?

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 15:20

je verrai plus tard ...

Posté par
Molotov79re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 15:47

Houston on a un problème , factorielle , factorielle !

Posté par
soufiane99re : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 16:57

Je n'ai pas compris qcq vous-avez écrit et pour quoi vous avez sommer seulement les termes qu'ils ont des puissances impaires,
Mais c'est facile, puisqu'il s'agit d'une somme finie on n'aura pas le problème de convergence, or votre série est une série géométrique de raison (-x)
\sum_{k=0}^{2n-1}{ (-x)}^{k}= \frac{1-{(-x)}^{2n}}{1+x}=\frac{1}{1+x}+\frac{x^{2n}}{1+x}

Posté par
carpediemre : Reccurence somme x puissznce 2k 19-02-19 à 19:50

bien sur ... mais il est demandé de le prouver par un raisonnement par récurrence ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !