Recensement sur l' île

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Recensement sur l' île
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dpi  14-09-17 à 09:10
Bonjour à tous

Lors du dernier recensement  sur l'île des maths ,le statisticien voulait savoir

le nombre de centenaires.

Le chef de l'île un certain mathafol 1er lui dit qu'à partir de 100 ans il gardait

secret l'âge de ces ainés.

Toutefois pour sonder le fonctionnaire il lui dit:

Le plus âgé vous le trouverez en faisant la différence entre deux nombres premiers

successifs inférieurs à 1 000 000  et il y en a deux autres.

La légende dit qu'il cherche encore ...et vous ?   (blank)
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LittleFoxre : Recensement sur l' île  14-09-17 à 11:03
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En dessous de 1 000 000 il y a 4 paires de nombres premiers successifs dont la différence est supérieure ou égale à 100 : 

370373 - 370261 = 112

396833 - 396733 = 100

492227 - 492113 = 114

838349 - 838249 = 100

Le plus âgé a donc 100, 112 ou 114 ans.

Merci pour l'énigme 
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LittleFoxre : Recensement sur l' île  14-09-17 à 11:27

Question subsidiaire  : quel est la plus petite paire de nombre premiers successifs tel que leur différence est plus grande ou égale à 200? Même chose pour 300,400 et 500. 
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dpire : Recensement sur l' île  14-09-17 à 12:13
>littlefox

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Bravo tu es un amateur de premiers et il y avait 3 centenaires (le doublon de 100 exclus)

210  pour 20831323

à ce jour l'écart reconnu  est 906 pour 218 209 405 436 543

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LittleFoxre : Recensement sur l' île  14-09-17 à 13:57

> dpi

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Il ne faut pas chercher longtemps pour trouver que le plus grand écart connu entre deux nombres premiers consécutifs est 1113106 (entre deux nombres premiers de 18662 chiffres).

Cependant le plus grand écart connu tel que tous les écarts pour des nombres premiers inférieurs est plus petit est 1476 entre 1,425,172,824,437,699,411	et 34,952,141,021,660,495.

cf wikipedia (en anglais) 
 Posté par 
LittleFoxre : Recensement sur l' île  14-09-17 à 14:03

> dpi

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Oups, l'écart  est à partir de 1,425,172,824,437,699,411 (qui est le 34,952,141,021,660,495ème nombre premier)

Bravo pour 210, c'est correct 

J'ai pu calculer moi même jusqu'à l'écart de 354 (un petit programme python ^^), ensuite j'ai été chercher Wikipédia 

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Zormuchere : Recensement sur l' île  14-09-17 à 22:15
Bonjour

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Il suffit de prendre n! aussi grand qu'on veut, et on aura un grand saut de premiers

Car tous les entiers de n!+2 à n!+n sont composés
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LittleFoxre : Recensement sur l' île  15-09-17 à 08:27

> Zormuche

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Oui, tout à fait c'est d'ailleurs la preuve que des sauts de n'importe quelle longueur existent. Mais en pratique on obtient des nombres gigantesques la factorielle grandissant très vite.

Cependant les records d'écarts sont obtenus par une manière similaire : en utilisant la primorielle et non la factorielle. Celle-ci augmente un peu moins vite que la factorielle tout en gardant les même propriétés vis à vis des écarts.

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Zormuchere : Recensement sur l' île  15-09-17 à 11:45
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primorielle ? Produit des nombres premiers consécutifs ?
  Posté par 
LittleFoxre : Recensement sur l' île  15-09-17 à 14:30

Oui, la primorielle est le produit des nombres premiers consécutifs. 

Je me suis un peu avancé en disant qu'elle avait les mêmes propriété que la factorielle (je pensais au PPCM des nombres de 1 à n en écrivant ça). Mais plusieurs records l'utilisent, par exemple : Pn = 7910896513*283#/30 - 6480 a un écart de 10716 après lui. où 283# est la primorielle de 283.