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Posté par
Dimanche
07-01-18 à 10:18

Besoin d'aide pour démarrer :

On considère un rectangle de périmètre constant égal à 12 unités de longueur.
Dans ce rectangle, on découpe le maximum de carrés de côtés 1 unité.
On appelle x la longueur d'un coté du rectangle et f(x) l'aire restante après découpage.
f est t-elle continue sur son domaine de définition ?
Proposer une représentation graphique de f.

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 10:30

Bonjour,

Si x est la mesure d'un côté, 6-x est la mesure de l'autre.

Sur le côté de mesure x, on peut placer au plus E(x) carrés de côtés 1.

Sur le côté de mesure 6-x, on peut placer au plus E(6-x) carrés de côtés 1.

  E() représente la partie entière.

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 10:40

Bonjour et merci de votre réponse !

Je pense comprendre d'ou vient le 6 mais ce n'est pas la seule possibilité si ?

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 11:20

Voyons: appelons x la mesure d'un côté du rectangle et y la mesure de l'autre côté.

  Le périmètre vaut 12 donc 2x+2y=12

  ou encore 2(x+y)=12

  x+y=6

et y=6-x

On remarque de plus que 0\leq x\leq 6

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 11:58

Donc f(x) est définie sur 0 < x < 6
Pour x appartient à N dans [0;6]; on a : f(x) = O
Et l'Aire du rectangle est : A = -x² + 6x

J'ai juste pour le moment ?

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 12:05

Oui

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 12:15

Et f(x) = x² - 6x + x.y    ????

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 12:33

Ah non!

  

Citation :
f(x) l'aire restante après découpage.


Donc l'aire du rectangle moins la somme des aires des carrés.

Chaque carré (de côté 1) à pour aire 1

Et le nombre de carrés est E(x).E(6-x)E(x) est la partie entière de x.

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 12:46

f(x) = -x² - 6x - [ E(x).E(6-x) ] - 1  ???

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 12:52

Mais peut-être est-il plus simple de travailler de travailler sur des intervalles:

Sur [0,1[, le rectangle a une dimension inférieure à 1 et on ne peut placer aucun carré.

   Donc f(x)=-x^2+6x

Sur ]1,2[, on peut placer au plus 4 carrés et f(x)=-x^2+6x-4

Sur ]2,3[...

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 13:01

Citation :
f(x) = -x² - 6x - [ E(x).E(6-x) ] - 1  ???


Pas tout à fait:

   f(x)=-x^2+6x-E(x).E(6-x) sur [0,6]

sauf pour les x entiers: f(0)= f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(6)=0

Mais comme je te le disais au dessus, il est préférable de travailler sur des intervalles.

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 14:20

Une représentation de f:

  Recherche

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 15:08

Donc sur  ]2;3[  on a f(x) = -x² + 6x - 8
Sur ]3;4[  on a f(x) = -x² + 6x - 9
Sur ]4;5[  on a f(x) = -x² + 6x - 8
Sur ]5;6[  on a f(x) = -x² + 6x - 4

Et je peux dire qu'étant donné que ces fonctions sont des polynômes alors elles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

C'est ça ? :$

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 15:14

Je ne suis pas d'accord:

Sur [0,1[\cup]5,6], f(x)=-x^2+6x

Sur ]1,2[\cup]4,5[, f(x)=-x^2+6x-4

Sur ]2,3[\cup]3,4[, f(x)=-x^2+6x-6

et f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0

A la question:

  

Citation :
f est t-elle continue sur son domaine de définition ?


  Un simple coup d'oeil à la courbe permet de répondre: "non".

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 15:16

Je vous remercie beaucoup !

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 15:18

De rien Dimanche, mais essaie d'arriver par toi même aux formules de 15h14

Posté par
Dimanche
re : Recherche 07-01-18 à 15:21

Oui je viens de faire des dessins et j'ai compris. Merci bonne journée

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 15:22

Posté par
lake
re : Recherche 07-01-18 à 15:46

J' ai quelques regrets; peut être est-il trop tard mais:

  

Citation :
Un simple coup d'oeil à la courbe permet de répondre: "non".


   est un peu "léger".

On peut montrer formellement que f est discontinue en 1,2,3,4 et 5.

Par exemple en x=1:

  \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-}(-x^2+6x)=5

  \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^+}(-x^2+6x-4)=1

    et f(1)=0

Donc \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)\not=f(1) et  \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\not=f(1)

   f n'est donc pas continue en 1

Même genre de calculs en 2,3,4 et 5



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