Inscription / Connexion Nouveau Sujet
recherche d un maximum
bonjour pouvait m'aider c tres important
un rectangle ABCD est inscrit dans un cercle de centre o et de rayon
5cm.
I est le milieu de [AB].
est la mesure en radians de l'angle géométrique
de l'angle AOI , (o 
/2
1.exprimer en cm , les longueurs AI et OI en fct de .
2.en déduire , en fct de alpha, les dimensions, en cm, du rectangle ABCD.
3.montrer en précisant la formule trigonométrique utilisée , que l'aire
, en cm2, du rectangle ABCD est égale à 50 sin 2 alpha.
4.On considére la fct numérique f , définie sur l'intervalle [0,pie/2]
par f (alpha)=50sin2alpha
a)calculer f'(a)
b)déreminer le signe de f'(alpha)
c)dresser le tableau de variation de f
5. en déduire qu'il existe une valeur de alpha , que l'on
précisera , pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est maximale.préciser
ce maximum.
quelle est alors la nature du rectangle ABCD ?
Bonjour Gregory 
- Question 1 -
Dans le triangle AOI rectangle en O, on a :
sin = AI/OA
Donc :
AI = OA sin = 5 sin
cos = OI/OA
Donc :
OI = OA cos = 5 cos
- Question 2 -
AB = 2 AI = 10 sin
AD = 2OI = 10 cos
- Question 3 -
AABCD = AB × AD
= 10 sin × 10 cos
= 50 × 2 sin cos
= 50 sin 2
(formule utilisée :
sin 2 = 2 sin cos)
- Question 4 - a) -
f'() = 50 × 2 × cos 2
= 100 cos2
- Question 4 - b) -
0 /2,
donc :
0 2
Si 2
[0; /2[,
alors cos 2 > 0
Si 2 = /2,
alors cos 2 = 0
Si 2]/2; ],
alors cos 2 < 0
D'où :
f'() > 0
si [0; /4[,
f'() = 0
alors cos 2 = 0
f'() < 0
si ]/4; /2].
- Question 4 - c) -
f(0) = 0
f(/4) = 50 sin/2 = 50
f(/2) = 0
- Question 5 -
f est strictement croissante sur [0; /4[,
et strictement décroissante sur /4; /2].
f admet donc un maximum atteint en /4. Le maximum vaut
50.
Conclusion : l'aire du rectangle ABCD est maximale pour x = /4/
Cette aire vaut alors 50 cm².
Le rectangle ABCD est donc un carré, en effet :
AB = 10 sin/4 = 10
2/2 = 52
AD = 10 cos/4 = 102/2 = 52
A toi de tout reprendre, bon courage ...
Annuler
connectez vous