Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

recherche d'un polynôme

Posté par
MathMusique
23-08-18 à 14:32

Salut les tout le monde  (à nouveau ^^), voilà j'ai un exo sur les polynômes de Tchébycheff
et j'ai quasiment réussi à finir mais me manque une pincée de sel que je ne trouve pas, si vous pouviez m'aider à la trouver ce serait cool merci.
Bref voilà l'exercice en question :
"Pour n dans N, montrer qu'il existe une fonction polynomiale Tn telle que :
Pour tout t dans R      Tn(cos(t))=cos(nt)

En utilisant la formule de Lemoivre et le binôme de Newton je suis parvenu à
cos(nx) = cos(x)\sum_{k=0}^{[n/2]}{\bigl(\begin{smallmatrix}
 \\ n\\ 
 \\ 2k
 \\ \end{smallmatrix}\bigr)cos(x)^{n-2k-1}sin(x)^{2k}(-1)^{k}}
donc j'ai bien du cos(x) fois quelque chose, mais ce quelque chose n'est pas un polynôme (enfin je crois) donc du coup il faudrait le transformer en un polynôme mais je ne vois pas trop comment faire.....
J'avais pensé à penser par les exponentielles complexes et utiliser les formules d'Euler....
Voilà si vous pouviez m'éclairer, m'apporter la mincée de sel qu'il manque ce serait cool merci

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 14:33

remarque le [x] est la partie entière de x

Posté par
Glapion Moderateur
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 14:37

il te suffit de remplacer sin² x par 1 - cos²x pour n'avoir plus que du cosinus et donc bien un polynôme en cos x

Posté par
Jezebeth
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 14:38

Bonjour

C'est la formule de Moivre, pas de Lemoivre.

Vous avez bel et bien un polynôme, il vous faut remarquer que sin(x)^{2k}=(sin^2(x))^k, puis exprimez sin^2(x) en fonction de cos^2(x). Il ne manquera plus qu'à expliciter le polynôme T_n.

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 14:44

je suis pas sûr de comprendre car au final on aura une somme de cos x à une puissance quelconque et ce n'est toujours pas un polynôme si?

Posté par
Glapion Moderateur
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 14:55

ben si, une somme de cos x à des puissances variables c'est bien un polynôme en cos x !
quoi d'autre ?

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:06

Ok merci Glapion (ainsi que jezebeth) du coup en posant x=cos(x)
alors cos(x)*(Tn(x))=cos(x)\sum_{k=0}^{[n/2]}{\bigl(\begin{smallmatrix}
 \\ n\\ 
 \\ 2k
 \\ \end{smallmatrix}\bigr)x^{n-2k-1}(1-x^{2})^{k}(-1)^{k}}
c'est bien ça ?

Posté par
Jezebeth
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:12

Pas tellement, c'est le polynôme T_n que vous devez expliciter… Là il vous reste du cos.

Et aussi l'astuce que vous utilisez pour factoriser la somme par cos(x), en écrivant cos(x)^{n-2k}=cos(x) \times cos(x)^{n-2k-1}, n'est pas licite si n = 0, attention. Pas besoin de mettre un cos(x) en facteur d'ailleurs (revoir ce qu'est un polynôme si vous ne voyez pas pourquoi).

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:17

"Pas tellement, c'est le polynôme Tn que vous devez expliciter… Là il vous reste du cos. "
Mais il faut bien qu'il me reste du cos non ?
puisque je dois aboutir à cos(nx)=cos(t)Tn

sinon merci pour la remarque pour le n=0

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:18

*cos(x)Tn

Posté par
MathMusique
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:30

En fait c'est bon j'ai compris avec la remarque de glapion "c'est bien un polynôme en cos x !".
ce que est demandé c'est Tn(x) avec x=cos(x) tandis que moi je pensé que c'était un cos(x)Tn(x) .... Bref merci à vous deux

Posté par
Jezebeth
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 15:41

Oui voilà, pour la rédaction le cas n=0 se traite à part. Sinon oui la factorisation est bonne en fait.

Posté par
lake
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 20:32

Bonjour,

Citation :
cos(x)*(Tn(x))=cos(x)\sum_{k=0}^{[n/2]}{\bigl(\begin{smallmatrix}
 \\ n\\ 
 \\ 2k
 \\ \end{smallmatrix}\bigr)x^{n-2k-1}(1-x^{2})^{k}(-1)^{k}}


Note que tu peux faire disparaître le (-1)^k:

T_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\binom{n}{2k}x^{n-2k-1}(x^2-1)

Posté par
Jezebeth
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 21:03

(avec une puissance k qui manque)

Posté par
lake
re : recherche d'un polynôme 23-08-18 à 22:15

Effectivement!



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !