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Niveau Licence Maths 1e ann
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Recherche de fonction spécifique

Posté par
Mip1
17-11-17 à 10:36

Bonjour,

Je suis en première année de licence, et notre enseignant nous a donné un exercice assez complexe que je n'arrive pas du tout à résoudre :

- Trouver une fonction f continue entre [-1,1]  et non dérivable sur un nombre infini de point

Pouvez-vous m'aider ? Merci beaucoup d'avance !

Posté par
Razes
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 10:43

Bonjour,

Par exempte :  f(x)=\left |\sin\left ( \dfrac{1}{x} \right )\right |, que peux tu en dire?

Posté par
Mip1
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 10:47

Merci pour la réponse très rapide, mais déjà pourriez-vous m'expliquer quelle est la différence entre une fonction non derivable et une fonction non derivable en un nombre infini de point ?

Posté par
jsvdb
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 11:23

Bonjour Mip1.

Il faut prendre les choses par le bon bout.
On regarde toujours la notion de dérivabilité point par point.
Donc, dire qu'une fonction est "non dérivable" ne signifie rien en soi.
Elle est "non dérivable en tels ou tels points", ou "non dérivable sur tel domaine".
Donc, dire qu'une fonction est non dérivable sur un nombre infini de points, signifie tout simplement que tu peux trouver un nombre infini de points (ici de [-1;1]) tels que tu ne puisses pas dériver f sur ces points là.
Maintenant, je ne sais pas si construire une telle fonction est à la portée du programme de première année de licence car il faut s'aider de la notion de série.

En voilà toujours une : f(x)=\sum _{{k=1}}^{{+\infty }}{\frac {1}{k^{2}}}\sin(k^{2}x) définie sur [-1;1].
Elle est continue sur [-1;1] mais n'est dérivable que sur les points de la forme \dfrac{(2p+1)\pi}{(2q+1)}} avec p et q entiers relatifs. Donc elle n'est pas dérivable sur un nombre infini de points.

Posté par
luzak
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 15:19

M'enfin jsvdb !
Des séries ne sont pas indispensables pour mettre en place des fonctions continues affines par morceaux !
Avec A=\{2^{-n},\;n\in\N\} la fonction x\mapsto x\,d(x,A) doit faire l'affaire.

Posté par
jsvdb
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 15:25

Bonjour luzak
ha ha ... j'ai bien pensé au fonctions en dents de scie autour de 0 mais j'avais un soucis que tu as résolu : comment obtenir la continuité en 0. Bah voilà, c'est fait, j'ai juste pas vu qu'il fallait juste multiplier par x (et en faire une scie égoïne !)

Posté par
luzak
re : Recherche de fonction spécifique 17-11-17 à 22:09

En fait on peut raffiner !
On multiplie par une fonction de limite nulle.
Si le facteur a une dérivée non nulle en 0, on obtient une fonction continue non dérivable.
Si le facteur a une dérivée nulle en 0 (par exemple x\mapsto x^2) on a une fonction de dérivée nulle en 0.

Même résultat si on prend A=\{k^n;\;0<k<1,\;n\in\N.



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