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Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordre 2

Posté par
alb1du29 19-05-19 à 15:44

Bonjour,
je bloque dans la recherche de solutions d'une équation différentielle, mais j'aimerai avoir de l'aide dans le cas général : je dois résoudre sur ]-\infty,0[ et ]0,+\infty : 4tx''(t)-2x'(t)+x(t)=0 avec les conditions initiales suivantes t_0=1, x(t_0)=e, x'(t_0)=e/2

La méthode de variation de la constante avec le wronskien nécessite de connaître un système fondamental de solutions et c'est la mon problème  : je ne connais pas de solutions de cette équation différentielle.
Pourtant, j'ai essayé plusieurs méthode : chercher avec des fonctions exponentielles type e^{at}, les fonctions puissances type t^n et j'ai même essayé de faire un changement de fonctions mais je ne vois pas trop comment m'en sortir :  soientt f une solution de l'équation différentielle, \varphi un difféomorphisme de classe C2 et g une application C2 telles que f= \varphi \circ g. J'ai dérivé f deux fois et réinjecter dans l'équation différentielle et ça me donne 4t\varphi ''(g)\times g'^2+4tg''\times \varphi '(g)-2\varphi '(g)\times g'+\varphi(g)=0 mais je ne vois pas quoi prendre comme fonction pour \varphi.
Donc j'aimerai savoir s'il existe des méthodes pour "voir" ou "trouver" des solutions de ce type d'équations différentielles ou si vous avez des astuces ?
Merci d'avance et bonne après-midi !
alb1du29

Posté par
carpediemre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 16:03

salut

pourquoi chercher une solution particulières quand le second membre est nul ?

les coefficients sont des polynomes ... pourquoi ne pas chercher une solution de ce type ?

Posté par
etniopalre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 16:39

L'existence de  solutions sur   U := ]- , 0[ ou sur V :=   ]0 , +[ résulte du théorème de Cauchy - Lipchitz  . Mais il n'y a peut être pas de jolie formule .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 17:23

Bonjour,
@carpediem,
Il me semble qu'il n'y a pas de solution polynôme.

Posté par
larrechre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 17:37

Bonjour,

Peut-être chercher un développement en série entière ?

Posté par
carpediemre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 18:15

Sylvieg @ 19-05-2019 à 17:23

Bonjour,
@carpediem,
Il me semble qu'il n'y a pas de solution polynôme.
oui je m'en doutais ... mais c'était une éventualité ...

un polynome est une somme finie qui se prolonge donc en
larrech @ 19-05-2019 à 17:37

Bonjour,

Peut-être chercher un développement en série entière ?

Posté par
etniopalre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 18:19

Soient u :     et F := nu(n)Xn/n!

On a   : 4XF" - 2F' + F = 0  SSI pour tout n on a
4XDn+2F  + (4n -2)Dn+1F +  DnF  = 0 donc  SSI  
u(n+1) = -u(n)/(4n - 2)  pour tout n .
Les suites u vérifiant des relations forment un -ev de dimension 1  dont une base est a : vérifiant  a(0) = 1 et a(n+1) ) = -a(n)/(4n - 2)  pour tout n .
Le rayon de   nu(n)Xn/n! est + et f : x     na(n)Xn/n!  est solution sur de l'ED .

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 19-05-19 à 22:23

salut, poser u=sqrt(t) ou u=sqrt(-t) en fonction de l'intervalle

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 20-05-19 à 11:50

Wolfram n'est pas tres performant sur ce coup

la commande de Xcas: 

dsolve(4x*y''-2y'+y=0)

renvoie

\mathrm{c_0} (\sqrt{-x}-1) e^{\sqrt{-x}}+\mathrm{c_1} (\sqrt{-x}+1) e^{-\sqrt{-x}} en utilisant cet algo

Comment arriver à ce resultat ?

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 20-05-19 à 13:43

une proposition, je prends 4x*y''-2y'+y=0
1/ faire le changement t=sqrt(-x) et poser y(x)=z(t) qui donne -z''+2/t*z'+z=0
2/ -z''+2/t*z'+z=0 a pour solution particuliere (t-1)*e^t
3/ pour une autre solution soit on pense à (t+1)e^(-t) soit on passe par le wronskien

Pour t=sqrt(x) je ne vois pas

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 20-05-19 à 22:07

pout ton changement de variable on fait disparaître le terme en phi prime en prenant 4tg''-2g'=0

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 20-05-19 à 22:29

tu es certain de ton enonce ? ce serait bien plus simple avec 4x*y''+2y'+y=0 !!!

Posté par
carpediemre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 21-05-19 à 17:32

peut-être que justement l'objectif est là : que ce ne soit pas plus simple que ce qui est simple ... et nous obligé à passer et travailler avec les séries entières ...

Posté par
luzakre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 10:00

Bonjour !
La recherche d'une série f(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n solution conduit à la relation de récurrence 2n(2n-3)a_n=-a_{n-1} d'où, en prenant a_0=1, a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}(2n-1)}{(2n)!}.

On voit alors que \dfrac{f(x^2)}{x^2} est la dérivée \dfrac{-1}x\sum_{n\geq0}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\dfrac{-\cos x}x d'où, pour x>0,\;f(x)=\cos\sqrt x+\sqrt x\;\sin\sqrt x.

La méthode usuelle de recherche d'une autre solution indépendante (le wronskien, si on veut) fournit la solution g(x)=\sin\sqrt x-\sqrt x\;\cos\sqrt x.

...............................
Pour x<0, on peut reprendre les calculs de alb12 avec le changement de variables ou, en calculant la série en -x^2 obtenir des formules analogues aux précédentes en remplaçant les lignes trigonométriques par des fonctions hyperboliques.

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 13:16

Super ! merci
on peut maintenant chercher les solutions sur R si on aime caluler
RQ les conditions initiales ne sont pas tellement en accord avec la forme des solutions sur R+

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 14:01

En resume
les expressions sur R- sont:

\\ c_0(-\sqrt{-x} \,\mathrm{sinh}\left(\sqrt{-x}\right)+\mathrm{cosh}\left(\sqrt{-x}\right))+c_1(-\sqrt{-x} \,\mathrm{cosh}\left(\sqrt{-x}\right)+\mathrm{sinh}\left(\sqrt{-x}\right)) \\

les expressions sur R+ sont:

\\ c_0(\cos\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x} \sin\left(\sqrt{x}\right))+c_1(\sin\left(\sqrt{x}\right)-\sqrt{x} \cos\left(\sqrt{x}\right)) \\


sauf erreur de signe !

Posté par
luzakre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 14:10

Je n'avais pas fait attention aux conditions initiales imposées.
Il suffit de prendre la solution x\mapsto \mathrm{e}\cos1(\cos\sqrt x+\sqrt x\sin\sqrt x)+\mathrm{e}\sin1(\sin\sqrt x-\sqrt x\cos\sqrt x) ou encore x\mapsto \mathrm{e}(\cos(\sqrt x-1)+\sqrt x\,\sin(\sqrt x-1)).

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 14:30

oui bien sur mais on pourrait penser que les conditions avec des exp sont plus adaptees à l'expression sur R-
Peut etre une erreur d'enonce ? serait-ce t=-1 ?

rappel: les expressions sur R- peuvent s'ecrire:

\\ c_0(\sqrt{-x}-1) e^{\sqrt{-x}}+c_1(\sqrt{-x}+1) e^{-\sqrt{-x}} \\

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 22-05-19 à 21:15

alb1du29 Toujours là ?

Posté par
luzakre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 23-05-19 à 08:23

Finalement les solutions sur \R s'obtiennent sans tellement de calculs !

On dispose de la fonction f somme d'une série entière de rayon de convergence infini qui est solution sur les réels.
g : x\mapsto\sin\sqrt x-\sqrt x\,\cos\sqrt x est solution sur \R_+^*, dérivable sur \R_+ avec g'(x)=\dfrac{\sin\sqrt x}2
Par conséquent la combinaison \alpha f+\beta g n'est dérivable deux fois en 0 que si \beta=0.

De même sur les réels négatifs de sorte qu'une soution définie sur \R aura pour restriction \alpha f sur \R_+^* et \lambda f sur \R_-^*.
La continuité en 0 impose \alpha=\lambda de sorte que les solutions sur \R forment la droite vectorielle de base f.

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 23-05-19 à 14:39

les solutions generales sur R seraient donc de la forme:

\\ f(x)=\left \{\begin{array}{lcl}C (\mathrm{cosh}\left(\sqrt{-x}\right)-\sqrt{-x}\, \mathrm{sinh}\left(\sqrt{-x}\right))$ si $x\leqslant0\\ \\ C (\cos\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x} \sin\left(\sqrt{x}\right))$ si $x\geqslant0 \\ \end{array} \\ \right \\

est-ce correct ?

Posté par
luzakre : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 23-05-19 à 17:55

Il me semble oui. Tu as des doutes ,

Posté par
alb12re : Recherche de solutions d'une équation différentielle d'ordr 23-05-19 à 18:06

non mais sans le doute que vaudrait une science ? (j'ai cherche directement les contraintes sur les 4 constantes)

On aimerait des nouvelles du posteur
est-ce un exercice de sup ?
pourquoi avoir poste au niveau spe ?


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