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Recherche des nombres presque entiers

Posté par
anthonyunac
04-09-16 à 09:01

Bonjour,

La recherche des nombres presque entiers de la forme e^{\pi\sqrt{n}} s'avère très laborieuse au delà de n=10000000 c'est pourquoi je demande l'aide de tous les membres du forum pour avancer dans la recherche de tels nombres.
Si vous êtes intéressés par la recherche des nombres presque entiers dont la partie décimale commence par une répétition d'au moins 6 fois le chiffre 9 ou d'une répétition d'au moins 6 fois le chiffre 0 et que vous possédez le logiciel maple ou mupad ou équivalent, je vous invite à m'aider.
Le code n'est pas bien méchant :

for i from 13366100 while i<14000001 do  if i mod 100 =0 then print(i)fi : if i mod 10 =0 then Digits:=floor((i)^0.52) fi: if abs( round(exp(Pi*sqrt(i)))- evalf(exp(Pi*sqrt(i))) ) < 10^(-6) then print(i,"génère un nombre presque entier")end if end do;

Vous pouvez donc vous lancer sur un intervalle complémentaire à celui que j'explore.
J'ai pris conscience que seul, je serai bien trop lent pour débusquer des drôles de nombres qui ne semblent obéir à aucune règle simple.
Plus il y aura de gens motivés et plus la recherche sera rapide.
Qui souhaite se lancer dans l'aventure ?

Cordialement
Anthony CANU

PS: Toute recherche ne sera pas vaine. Nous publierons (comme j'ai pu déjà commencer) nos résultats dans l'encyclopédie en ligne OEIS (cf par exemple la suite A127031)
D'autres personnes sont assez curieuses sur le sujet :

Posté par
pyth
re : Recherche des nombres presque entiers 10-10-16 à 00:01

Salut,

Tu connais les techniques de map reduce ? ça pourrait peut être servir si tu dispose de plusieurs ordinateurs.

Sinon, je ne comprends pas bien le but de rechercher de tels nombres (contrairement aux nombres premiers par exemple)

Posté par
carpediem
re : Recherche des nombres presque entiers 10-10-16 à 19:15

Posté par
anthonyunac
re : Recherche des nombres presque entiers 31-10-16 à 07:07

Bonjour,
@pyth Je ne connais pas les techniques de map reduce mais ne possédant qu'un seul PC, je pense que c'est foutu !
L'intérêt d'une telle recherche réside dans le plaisir de découvrir des nombres presque entiers inconnus à ce jour et de mettre la main (peut être un jour) sur une constante similaire à celle de Ramanujan. Trouver une telle constante qui fasse écho à celle de Ramanujan serait vraiment une jolie trouvaille.
Il est bien évident que tout ceci relève de la mathématique récréative et qu'un matheux pur et dur n'y verra qu'un intérêt limité et pourtant les liens donnés par Gerard Villemin nous conduisent vers des choses plus corsées telles que les nombres de Pisot ou le groupe monstre ...

L'exploration de tous les nombres presque entiers de la forme e^{\pi\sqrt{n}} pour n\in[10.000.000;20.000.000] vient de se finir aujourd'hui même.
Voici un tableau récapitulatif des meilleurs spécimen rencontrés :
[url=http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=927827Intervalle107207.jpg]Recherche des nombres presque entiers[/url]
On remarquera notamment que les valeurs des arguments de e^{i\pi\sqrt{n}} sont quasi symétriques aux alentours de n=19.400.000.
On peut constater également en regroupant ces résultats avec ceux trouvés pour n\in[1;10.000.000] que les nombres presque entiers qui admettent une partie décimale commençant par sept fois le chiffre 0 (ou sept fois le chiffre 9) ont tendance à admettre un argument dont la valeur peut être représentée à proximité d'un axe du cercle trigonométrique. Pour être plus précis, concernant ces nombres presque entiers exactement, Arg(e^{i\pi\sqrt{n}})=k\frac{\pi}{2}\pm\epsilon avec k entier
Ce phénomène se retrouve également sur les presque entiers dont la valeur de n est supérieur (cf. la liste de Charles R.Greathouse : https://oeis.org/A127025/b127025.txt qui est parvenu à explorer toutes les valeurs de n<100.000.000 mais concernant uniquement les presque entiers dont la partie décimale commence par des 9. Cette séquence porte le nom A127025 sur l'encyclopédie en ligne : https://oeis.org/A127025)

Posté par
anthonyunac
re : Recherche des nombres presque entiers 19-11-16 à 07:08

Bonjour,
Voici une observation permettant d'améliorer la recherche des nombres presque entiers de la forme e^{\pi\sqrt{n}} :
Partant de la liste de tous les nombres presque entiers trouvés admettant une partie décimale commençant par sept fois 0 (ou sept fois 9) et en notant E la partie entière :
e^{\pi\sqrt{1844122}}=E+0.999999967... avec 1844122=2*7*157*839 et \sqrt{1844122}\sim1357.98
e^{\pi\sqrt{5433402}}=E+0.000000099... avec 5433402=2*3*13*41*1699 et \sqrt{5433402}\sim2330.97
e^{\pi\sqrt{7278138}}=E+0.000000055... avec 7278138=2*3^2*7*47*1229 et \sqrt{7278138}\sim2697.80
e^{\pi\sqrt{14554227}}=E+0.000000055... avec 14554227=3*17*285377 et \sqrt{14554227}\sim3815.00
e^{\pi\sqrt{35437319}}=E+0.999999949... avec 35437319=23*1540753 et \sqrt{35437319}\sim5953
e^{\pi\sqrt{37534487}}=E+0.999999929... avec 37534487=17*2207911 et \sqrt{37534487}\sim6126.5
e^{\pi\sqrt{40593332}}=E+0.999999961... avec 40593332=2^2*13*661*1181 et \sqrt{40593332}\sim6371.3
e^{\pi\sqrt{45219281}}=E+0.999999941... avec 45219281=359*125959 et \sqrt{45219281}\sim6724.5

On constate aisément qu'une grande proportion des nombres presque entiers de la forme e^{\pi\sqrt{n}} admettent un radicande n qui ne possède pas de facteurs carrés (entier de type squarefree en anglais) et admettent une racine carrée de la forme \sqrt{n}\sim\frac{k}{2} avec k entier

Curieux n'est ce pas ou pur coïncidence ?!

Posté par
anthonyunac
re : Recherche des nombres presque entiers 02-12-16 à 06:19

Bonjour,
Voici le dernier presque entier trouvé : e^{\pi\sqrt{25082092}}-\frac{2}{66501119}\sim E+5.333.10^{-18} (ou E désigne la partie entière) qui exploite les décimales du nombre e^{\pi\sqrt{25082092}}\sim E+3.10^{-8}

Posté par
carpediem
re : Recherche des nombres presque entiers 02-12-16 à 18:09

la partie entière de quoi ?

Posté par
anthonyunac
re : Recherche des nombres presque entiers 02-12-16 à 18:42

Bonsoir,
Ici en l'occurence il s'agit de la partie entière de ce nombre : e^{\pi\sqrt{25082092}}-\frac{2}{66501119}

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