Après pour compléter la base je pense ajouter  X^4.

Bonjour,

Déjà, quelle est la dimension de ?
Quelle est la dimension de ?
Quelle est la dimension d'un supplémentaire de ?
Une fois ça au clair : tu sais que pour trouver un supplémentaire de , on peut compléter une base de en choisissant les vecteurs qu'on ajoute dans une base déjà connue de , par exemple .
Tu as donc une recette : dans , piocher le bon nombre de vecteurs (celui égal à la dimension d'un supplémentaire de ) qui engendrent un sous-espace dont l'intersection avec est réduite à .

Dimension de R4[X] =5
Dimension de G=? (Il faut une base)
Dimension supplémentaire de G=5-dim(G)

Ah je pense avoir trouvé une base, je reviens dans quelques minutes

Pas vraiment besoin d'une base.
Heuristiquement : un polynôme de degré 4 a 5 coeffcients, 5 degrés de liberté. Tu impose deux conditions. Combien reste-t-il de degrés de liberté ?
Mathématiquement : quelle est la dimension de l'espace des solutions de deux équations linéaires linéairement indépendantes dans un espace de dimension 5 ?

Par ailleurs, pas trop difficile de trouver une base de G : P(1)=P'(1)=0 veut dire que 1 est racine de P de multiplicité au moins 2.

Non finalement P'(1) me bloque je ne sais pas comment faire.

Ah oui d'accord

La dimension est 3?

Je te laisse t'en assurer.

Grâce à la multiplicité=2 on peut dire que vect(X-1)^2,X(X-1)^2)

La dimension est égale à 2 finalement, car un espace fini admet la même dimension que toutes ses bases.

Non, fais attention. est l'espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 4.

Oui, la dimension de G est 2 et celle de son supplémentaire est 3.
(J'ai du mal sur ces notions, désolé si j'ai encore mal compris)

Vect(1,X^4,X) supplémentaire

Cette famille est bien libre car échelonnée en degré. il faut que je vérifie l'intersection.

J'ai du mal à montrer l'intersection nulle, mais le fait que ce soit deux familles libres ne nous permet-il pas d'être immédiat?

Non, tu n'as pas compris ma remarque que est l'espace des polynômes de degré 4.
Reprends ta description de .

Bonjour tout le monde,

@GBZM : comme cela est explicitement écrit ci-dessus, tu voulais certainement écrire ceci : est l'espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 4.

Oui, inférieur ou égal à 4. Merci.

RiemanB, peux tu préciser la tête des polynômes de G ?

Bonjour,
Désolé GBZM je n'ai pas pu revenir sur l'exercice hier je m'y remets.

Ils seraient de cette forme a+bX+cX^2+dX^3+eX^4

Ha, je viens de voir que dans la définition de , on prend les polynômes de tels que . C'est bien le degré dans l'énoncé ?
Moi j'étais parti avec les de tels que , degré inférieur ou égal à 4.
Excuse moi si je t'ai mené sur un mauvais chemin. Si tu confirmes que l'énoncé est bien

alors tu as raison, est de dimension 2 et tu en as donné une base.
Pour avoir un supplémentaire dans , tu peux compléter la base que tu as trouvée en piochant dans .

Oui c'est bien cela. Merci beaucoup !