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recherche sur les Limites et Dérivation

Posté par
rachidalaychi 12-02-13 à 23:01

bonjours chers amis je suis un élève au première bac et je voudrais ,s'il vous plaît, la définition des Limites et Dérivation et quel rapport il y entre les deux je j'ai trouvé que les définition courant ne sont pas bien claire je voudrais svp une définition approfondie ett Merci d'avance

Posté par
mathx96re : recherche sur les Limites et Dérivation 13-02-13 à 00:27

Bonjour :


On considère I,J deux intervalles et f : I J
                                                          x f(x)


- a\in I \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

- Si a\notin I alors, \lim_{x\to a} f(x) est la valeur vers laquelle tend f(x) quand x tend vers a, ie la valeur qu'atteindrait f(x) si x valait a.


Ainsi, la limite peut être finie : \lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x)}{x} = 1 (Note bien qu'il n'existe aucune image de 0 par f)

ou bien infinie : \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty, ou \lim_{x\to \pm\infty} x^2 = +\infty


Elle peut ne pas valoir la même chose si on se rapproche de a par valeurs inférieures (on parle alors de limite 'à gauche' ou par valeurs supérieures :


\lim_{x\to 4^-} \dfrac{1}{x+4} = -\infty

\lim_{x\to 4^+} \dfrac{1}{x+4} = +\infty




Tu peux appréhender la valeur d'une limite en ayant une idée de la courbe représentative de la fonction, ou bien en la calculant à la main :


La limite d'une somme, d'un produit, d'une différence ou d'un quotient est la somme, le produit, la différence ou le quotient des limites.

Il existe cependant des formes indéterminées, mais on n'en voit que 4 au lycée :

\infty - \infty


\dfrac{0}{0}



\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}




0\times \infty





Concernant la dérivée :


Le nombre dérivé d'une fonction f en un point a est le réel \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} et correspond à la valeur du coefficient de la tangente à C_f en ce point.



On appelle fonction dérivée, qu'on note f'(x), la fonction qui à chaque x associe le coefficient directeur de la tangente en ce point.


Il existe des formules pour dériver :

Si u et v sont deux fonctions tel que v\neq 0 et soit \lambda\in\R:

(u^n)' = n\times u'\times u^{n-1}

(\lambda u)' = \lambda\times u'

(\lambda u+\lambda v)' = \lambda u' + \lambda v'

(u\times v)' = u'\times v + u\times v'

(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'\times v - u\times v'}{v^2}



(v\circ u)' = (v(u))' = u'\times v'\circ u = u'\times v'(u)


(x)' = 1

(x^n)' = n\times 1 \times x^{n-1} = nx^{n-1}

(\dfrac{1}{x^n})' = (x^{-n})' = -n\times x^{-n-1} = -nx^{-(n+1)} = \dfrac{-n}{x^{n+1}}

cos'(x) = -sin(x)

sin'(x) = cos(x)

(e^x)'=e^x

ln'(x) = \dfrac{1}{x}......




En espérant t'avoir été utile.



Mathx96

Posté par
rachidalaychire : recherche sur les Limites et Dérivation 13-03-13 à 13:23

MErci infiniment Mathx96


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