Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Recouvrement
Bonjour a tous jai un exercice auquel je narrive pas a repondre, ca serait cool si vous pouviez m aider 
Soit E un ensemble de cardinal n
On appelle recouvrement de E toute paire {F,G} ou F et G sont des parties de E telles que FunionG =E
On appelle recouvrement ordonné de E tout couple (F,G) où F et G sont des parties de E telles que f union g = E
1) Soit A une partie de E telle que card(A) = k (k<ou= n)
Combien y a-t-il de recouvrements ordonnées de E tels que FinterG=A
En déduire le nombre de recouvrement ordonné de E tels que card(FinterG) =k
2) combien y a-t-il de recouvrements ordonnés de E ?
3) combien y a-t-il de recouvrement de E ?
Je seche completement, merci d avance !
Salut,
C'est du dénombrement.
Prend F et G 2 parties de E avec m et p éléments. Tu te fixes que ces 2 parties ont les k éléments de A dans leur intersection (on a donc m et p plus grand que k).
Que reste-t-il pour avoir F union G égal à E ?
Bonsoir,
si k=n le problème est facile.
Si k<n soit x dans le complémentaire de A dans (que je note E\A ).
On a alors deux cas possibles soit x est dans F, soit x est dans G.
En notant 0 le premier cas et 1 le second, on voit que le nombre de possibilités pour le couple (F,G) est égal au nombre d'applications de E\A dans {0;1}.
Ah oui daccord merci. Mais pour le "en deduire", n est il pas logique que ce soit le meme nombre que celui trouve a la question 1 ?
Flewel, pour que f union g = E il faut que m+n soit compris entre n et 2n mais apres je suis toujours bloque ...
Ah non cest bon, desole pour tous ces posts mais je pense avoir trouvé.
En gros une fois qu on a la partie A de fixé il nous reste 2^n-k parties differentes pour F et pour chaque valeurs de F il y a une seule partie G associee de telle sorte que FunionG=E.
Le nombre de recouvrement ordonnes est donc de 2^n-k !
Par contre pour le en deduire ....
L'ensemble A étant fixé on a 2^(n-k) recouvrements ordonnées (F;G) tels que F
G=A.
Combien y a t-il de parties à k éléments dans E ?
Ah oui merci.
Du coup ca fait 2^(n-k)*k parmi n
Et pour la 2) du coup est ce correcte de dire que le nombre de recouvrement ordonne = Somme (k=0 a k=n)de (k parmi n)*2^(n-k) ?
Ah super merci.
Pour la 3) on a juste a diviser par deux parce que l on ne tient pas compte de l ordre vu que le recouvrement nest pas ordonné ?
Il y a un recouvrement qui ne correspond qu'a un recouvrement ordonné.
On peut aussi remarquer que le nombre total de recouvrements ordonnés est impair, il est donc difficile de trouver un entier en le divisant par 2.
; E) ; ({a} ; {b})
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac