salut

je peux construire au moins un losange ... mais je ne vois pas de construction générale permettant d'en avoir plusieurs (si c'est effectivement le cas comme pour le parallélogramme)

 Cliquez pour afficher

1/ je construis les symétriques d1' et d2' de d1 et d2 par rapport à d

2/ je note B le point d'intersection de d1 et d2 et D le point d'intersection de d1' et d2'

3/ C est alors le symétrique de A par rapport à la droite (BD)

 Cliquez pour afficher

une droite ou sa symétrique joue le même rôle donc :

1/ idem

2/ je noteB le point d'intersection de d1 et d'2 (ou d1' et d2) et D le point d'intersection de d'1 et d2 (ou d1 et d2')

3/ idem

 Cliquez pour afficher

1/ je prend un point C sur d quelconque et je trace la médiatrice du segment [AC]

2/ même principe je considère "la" bonne réflexion ...

euh ... on veut : tel quel B appartienne à (d1), et C appartienne à (d) et D appartienne à (d2) simultanément

dans ta première construction, ton point D n'a aucune raison d'appartenir à d2
dans ta construction "générale" ça ne marche pas pour les mêmes raisons

 Cliquez pour afficher

en fait il y a un seul losange sauf cas dégénérés de positions très particulières des droites.
(si d1 et d2 sont elles mêmes symétriques par rapport à d, auquel cas il y a une infinité de solutions, ou si d2 est parallèle et non confondue à la symétrique de d1 auquel cas il n'y a pas de solution)

ha merd...credi !!! j'ai totalement oublié l'énoncé !!

désolé

Bonsoir,

le cas du rectangle ne semble pas inspirer grand monde...

on ne parlera pas du losange, élémentaire, voir la construction n°2 de carpediem, parfaitement valide, celle là.

pour le rectangle j'ai quelque chose de pas mal compliqué faisant intervenir une hyperbole

le défi est donc de trouver plus simple ...

Bonjour,

  

 Cliquez pour afficher

Pas mieux:

  

Bonjour lake

 Cliquez pour afficher

Ton hyperbole est différente de la mienne
toi c'est le lieu du centre du cercle circonscrit à ABC d'un parallélogramme variable ABCD s'appuyant sur les trois droites
moi c'est le lieu du centre d'un rectangle libéré de la contrainte sur C
ça doit être plus ou moins équivalent pour déterminer les éléments géométriques définissant ces hyperboles (foyers, asymptotes, points dessus etc au choix) et donc construire effectivement



les points indicés m comme "mobile" dépendant de B_m
ton hyperbole en bleu, la mienne en vert
les solutions ne figurent pas pour ne pas surcharger le dessin
ni leur construction effective à la règle et au compas résultant de cette étude
une fois obtenu M, centre du rectangle cherché, comme intersection de (d) avec cette hyperbole, que ce soit la tienne ou la mienne, la suite est immédiate

Bonsoir mathafou,

 Cliquez pour afficher

Ta construction et la mienne sont tout à fait similaires. Après tout, bien qu'avec GeoGebra il n'y ait aucun problème, on sait construire l'intersection d'une droite avec une hyperbole ou une conique (définie par ses éléments : foyers, cercle directeur, directrices...) Encore faut-il les construire.

J'ai l'impression que tu attendais une solution qui, à partir du point et des trois droites, « construisait » directement les rectangles solutions quand ils existaient sans passer par l'intermédiaire d'une hyperbole.
Je ne sais pas faire.
Par contre, je pense que cet exercice est fait sur mesure pour un pappus que nous connaissons tous les deux et qui aurait certainement beaucoup de choses à dire quitte à ce qu'il fasse intervenir ses chers « TGV »

"sans passer par l'intermédiaire d'une hyperbole."
ça serait effectivement chouette
mais à défaut c'est bien une solution, ces hyperboles

 Cliquez pour afficher

le problème à ce moment est de prouver qu'il s'agit bien d'hyperboles et pas de courbes bizarres qui ressemblent à des hyperboles
..et c'est là qu'interviendrait effectivement notre ami Pappus et ses TGV ou quel que soit le nom qu'on leur donne.

pour ma part j'ai fait intervenir que l'orthogonalité, par l'intermédiaire des points cycliques, induit une homographie du faisceau A* qui à (ABm) fait correspondre la droite (ADm) et donc la correspondance homographique entre les points Bm et Dm etc
sans chercher d'avantage à formaliser tout ça en détail
sans ces outils ça devient vite pénible, donc d'un point de vue calculatoire, spécialité de plusieurs autres grosses têtes de "les mathématiques.net".

ces calculs étant justement ce qui permettrait à mon avis de "court-circuiter" l'hyperbole pour arriver à une construction "synthétique" directe.

avec mon hyperbole je construis les asymptotes de façon très simple
et un point, ce qui définit parfaitement cette hyperbole.
ça suffit pour permettre la construction des intersections de (d) avec cette hyperbole sans rien tracer d'autre de cette hyperbole.

>> mathafou,

  

 Cliquez pour afficher

Je le reconnais sans peine: ton hyperbole est meilleure que la mienne dans le sens où ses éléments géométriques sont plus faciles à déterminer.
Soyons clair, la mienne, l'appeler "hyperbole" est une conjecture. J'ai utilisé GeoGebra à outrance. J'ai vraiment eu la flemme de me lancer dans certains calculs.

Bonsoir lake et mathafou et tous autres

Vous utilisez une hyperbole
Je choisis un point B sur (d1) et je construis le point C sur (D) tel que le triangle ABC soit rectangle en B.
Je complète par le point D, qui n'est alors pas sur (d2), pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle :
Le lieu de D quand B varie sur (d1) est une parabole qui coupe (d2) en 2 points D qui sont solutions.

Ces 2 solutions sont identiques à celles obtenues en utilisant les intersections hyperbole et (d)
GeoGebra fait tout le travail, la parabole permettrait-elle de tracer plus facilement ?

bizarre, moi j'obtiens une 3ème hyperbole :

en creusant un peu plus sur ton hyperbole, il s'avère que ses caractéristiques sont plus faciles à obtenir que celle de la mienne.
mais tout ça c'est kif kif ensuite pour l'intersection (sensée être à la règle et au compas de bout en bout)

bonsoir,

oubliez ma parabole, j'ai vu les 2 branches de l'hyperbole en zoomant....

la construction complète avec l'hyperbole de vham
car comme j'ai dit "ses caractéristiques sont plus faciles à obtenir que celles de la mienne."

 Cliquez pour afficher

je ne rappelle pas la définition de cet hyperbole (voir vham le 15-06-20 à 20:40), et je ne vais pas insister sur la preuve que c'est une hyperbole et pas un truc qui ressemble  à une hyperbole

l'avantage de cette hyperbole de vham est que on en connait déjà un point sans rien construire : le point A !

construction des asymptotes :
la perpendiculaire en A à (d) coupe, (d₁) en H
la perpendiculaire en H à (d₁) est une des asymptotes
l'autre est la parallèle à (d) par le symétrique H' de H par rapport à (d)

ces deux asymptotes et le point A définissent complètement l'hyperbole.
nota : la tangente en A est perpendiculaire à (d), c'est (HH')



on va se placer dans le repère défini par ces asymptotes : (Ωx, Ωy)
dans ce repère l'équation de cette hyperbole est x y = a b, avec a et b les coordonnées de A dans ce repère
et la droite (d₂) a pour équation x/m + y/n = 1 avec m et n les intersections avec les axes.

on aboutit à l'équation aux abscisses des points d'intersections x² - mx + abm/n = 0
la somme des racines est X₁+X₂ = m et le produit X₁.X₂ = abm/n
on construit b' = b m/n sur l'axe des abscisses par Thalès
et on reporte a₁ = a et b₁ = b' sur l'axe des ordonnées
soit J l'intersection des médiatrices de a₁a₂ et de Ωm

le cercle de centre J passant par a₁ (et b₁), coupe l'axe des abscisses en X₁ et X₂
avec X₁.X₂ = a₁.b₁ = abm/n (puissance de Ω ) et X₁+X₂ = m (médiatrice de Ωm)
qui sont donc solutions de l'équation
(construction géométrique classique des solutions d'une équation du second degré)

on renvoie ces points en D₁ et D₂ sur la droite (d₂) par des parallèles à Ωy et on complète les rectangles par des perpendiculaires qui vont bien

cette façon de construire les intersections de (d2) avec l'hyperbole n'est certainement pas la seule, mais à partir des données qu'on a (hyperbole définie par ses asymptotes et un point) c'est la plus "compréhensible" et sans doute une des plus simples. (ne nécessitant pas de construire les foyers ou autres)

bien entendu si "on fait faire le boulot par Géogebra", il faut tout de même lui définir son hyperbole avant de lui demander sauvagement ses intersections !

ici l'hyperbole n'en est pas une : c'est brutalement le lieu géométrique défini par le rectangle mobile de vham et rien d'autre.
son tracé est d'ailleurs inutile et uniquement pour illustration.

Bonne nuit,

A mathafou : Bravo.
Vous êtes absolument rigoureux en notant la nécessité de prouver
que "l'hyperbole de vham" est bien une hyperbole.

En prenant (d) comme axe des abscisses et (d1) de pente m passant par l'origine,
en prenant a pour abscisse de A et b pour abscisse de B (d'ordonnée mb),
le lieu de B par le calcul est :

Peut-on prouver autrement que c'est bien une conique ?  

Le lieu du point D est    

Bonjour,
vu la simplicité de cette preuve il y a fort à parier qu'il n'en existe pas de plus simple !

en plus les directions asymptotiques sont données par mt² + t = 0 d'où t = 0 et -1/m prouvant que c'est une hyperbole, et les asymptotes sont l'une parallèle à d (t= 0) et l'autre perpendiculaire à (d₁) (t = -1/m)
ayant cette équation on peut même obtenir tous les éléments caractéristiques si on veut.