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rectangle s'appuyant sur 3 droites

Posté par
mathafou Moderateur
10-06-20 à 19:40

Bonjour,

suite à cet exo Construction de parallélogramme, je propose de traiter ici les extensions :

1) étant données trois droites (d), (d1) et (d2) et un point A de (d)
construire un losange ABCD tel quel B appartienne à (d1), C appartienne à (d) et D appartienne à (d2)

rectangle s\'appuyant sur 3 droites

(facile)

2) étant données trois droites (d), (d1) et (d2) et un point A de (d)
construire un rectangle ABCD tel quel B appartienne à (d1), C appartienne à (d) et D appartienne à (d2)

rectangle s\'appuyant sur 3 droites

(plus dur il me semble !)

Posté par
carpediem
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 10-06-20 à 20:19

salut

je peux construire au moins un losange ... mais je ne vois pas de construction générale permettant d'en avoir plusieurs (si c'est effectivement le cas comme pour le parallélogramme)

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ha si !! autre losange (enfin il me semble) :
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ha si peut-être méthode générale :

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j'y réfléchis ...

pour le rectangle je ne vois pas pour l'instant

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 10-06-20 à 20:34

euh ... on veut : tel quel B appartienne à (d1), et C appartienne à (d) et D appartienne à (d2) simultanément

dans ta première construction, ton point D n'a aucune raison d'appartenir à d2
dans ta construction "générale" ça ne marche pas pour les mêmes raisons

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Posté par
carpediem
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 10-06-20 à 20:48

ha merd...credi !!! j'ai totalement oublié l'énoncé !!

désolé

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 11-06-20 à 22:27

Bonsoir,

le cas du rectangle ne semble pas inspirer grand monde...

on ne parlera pas du losange, élémentaire, voir la construction n°2 de carpediem, parfaitement valide, celle là.

pour le rectangle j'ai quelque chose de pas mal compliqué faisant intervenir une hyperbole

le défi est donc de trouver plus simple ...

Posté par
lake
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 12-06-20 à 11:00

Bonjour,

  

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Posté par
lake
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 12-06-20 à 11:03

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Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 12-06-20 à 12:03

Bonjour lake

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Posté par
lake
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 12-06-20 à 22:02

Bonsoir mathafou,

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Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 12-06-20 à 22:36

"sans passer par l'intermédiaire d'une hyperbole."
ça serait effectivement chouette
mais à défaut c'est bien une solution, ces hyperboles

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Posté par
lake
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 13-06-20 à 17:10

>> mathafou,

  

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Posté par
vham
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 15-06-20 à 20:40

Bonsoir lake et mathafou et tous autres

Vous utilisez une hyperbole
Je choisis un point B sur (d1) et je construis le point C sur (D) tel que le triangle ABC soit rectangle en B.
Je complète par le point D, qui n'est alors pas sur (d2), pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle :
Le lieu de D quand B varie sur (d1) est une parabole qui coupe (d2) en 2 points D qui sont solutions.

Ces 2 solutions sont identiques à celles obtenues en utilisant les intersections hyperbole et (d)
GeoGebra fait tout le travail, la parabole permettrait-elle de tracer plus facilement ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 15-06-20 à 20:57

bizarre, moi j'obtiens une 3ème hyperbole :
rectangle s\'appuyant sur 3 droites

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 15-06-20 à 22:12

en creusant un peu plus sur ton hyperbole, il s'avère que ses caractéristiques sont plus faciles à obtenir que celle de la mienne.
mais tout ça c'est kif kif ensuite pour l'intersection (sensée être à la règle et au compas de bout en bout)

Posté par
vham
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 15-06-20 à 22:42

bonsoir,

oubliez ma parabole, j'ai vu les 2 branches de l'hyperbole en zoomant....

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 16-06-20 à 01:08

la construction complète avec l'hyperbole de vham
car comme j'ai dit "ses caractéristiques sont plus faciles à obtenir que celles de la mienne."

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Posté par
vham
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 16-06-20 à 06:34

Bonne nuit,

A mathafou : Bravo.
Vous êtes absolument rigoureux en notant la nécessité de prouver
que "l'hyperbole de vham" est bien une hyperbole.

En prenant (d) comme axe des abscisses et (d1) de pente m passant par l'origine,
en prenant a pour abscisse de A et b pour abscisse de B (d'ordonnée mb),
le lieu de B par le calcul est : my^2+(x-a)(y+am)=0

Peut-on prouver autrement que c'est bien une conique ?  

Posté par
vham
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 16-06-20 à 06:37

Le lieu du point D est  my^2+(x-a)(y+am)=0  

Posté par
mathafou Moderateur
re : rectangle s'appuyant sur 3 droites 16-06-20 à 07:10

Bonjour,
vu la simplicité de cette preuve il y a fort à parier qu'il n'en existe pas de plus simple !

en plus les directions asymptotiques sont données par mt² + t = 0 d'où t = 0 et -1/m prouvant que c'est une hyperbole, et les asymptotes sont l'une parallèle à d (t= 0) et l'autre perpendiculaire à (d1) (t = -1/m)
ayant cette équation on peut même obtenir tous les éléments caractéristiques si on veut.

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