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Recurrence
Bonjour à tous,
Soit A un réel positif.Montrer que pour tout entier naturel : (1+A)^n > ou = à 1+n.A
J'ai initialisé la propriété est fait l'hypothese de recurrence mais je n'arrive à prouver que
(1+A)^(n+1)> ou = 1+(n+1).A
Merci d'avance
Supposons que
(1+A)^n >= 1+n.A
Multiplions les 2 cotés 1+A ->
(1+A)^(n+1) >= (1+n.A)(1+A)
(1+A)^(n+1) >= 1+(n+1)A + nA²
et a fortiori
(1+A)^(n+1) >= 1+(n+1)A
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Donc si la relation (1+A)^n >= 1+n.A est vraie pour une certaine valeur de n, elle est aussi vraie pour n +1.
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Si n = 0
(1+A)^0 >= 1 + 0.A
1 >= 1
Donc la relation (1+A)^n >= 1+n.A est vraie pour n = 0,
elle est donc vraie aussi pour n = 1.
La relation (1+A)^n >= 1+n.A est vraie pour n = 1,
elle est donc vraie aussi pour n = 2.
Et ainsi de proche en proche, la relation (1+A)^n >= 1+n.A est vraie pour tout n de N.
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Sauf distraction. 
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