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Recurrence

Posté par moi-powa (invité) 19-09-04 à 15:16

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème en milieu d'exercice pour démontrer par récurrence qu'une suite et croissante.
Donc On a (Un+1) = 1/3 X Un + 4
a)Démontrer par récurrence qu la suite U est majorée par 6
-Sa c'est bin j'ai réussi

b)Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que la suite U est croissante
-Pour celle là j'ai un peu plus de mal , un problème de méthode je dirais.
Voila comment j'ai raisonné :
Pour prouvé que la suite est croissante il faut prouvé que U(n+1) > Un ( ceci serait donc la proprieté quej'ai noté Pn)
Je ne vois pas comment raisonné par récurrence...Tout est dit 1/3 Un + 4 > Un .... je ne vois pas comment le faire par récurrence.
Merci d'avance

Posté par Emma (invité)re : Recurrence 19-09-04 à 15:30

Salut moi-powa !

Attention ! Tu as l'air de trouver évident le fait que
$\frac{1}{3}.x+4 > x$
Mais ce n'est pas le cas :
Par exemple, pour x=9, $\frac{1}{3}.9+4 = 7 < 9$ ...
Je suis d'accord avec toi sur le fait que tu n'as pas réellement besoin de raisonner par récurrence... mais il y a quand même quelque chose à démontrer...

Etudie sous quelles conditions tu as bien $\frac{1}{3}.x+4 > x$ , et tu pourras conclur

@+
Emma

Posté par et le premier terme ???

19-09-04 à 15:44

Salut à tous ,

Moi-Powa, tu as oublier de nous donner le premier terme sans lequel il est impossible d'initialliser notre raisonnement par récurrence...

Sinon, le raisonnement par récurrence est relativement simple. Prouver qu'une suite est croissante ou décroissante lorsque cette suite est définie par récurrence, il n'y a souvent rien de plus simple que de le démontrer par récurrence (plutot que d'utiliser les autres méthodes), crois-moi .

À +

Posté par moi-powa (invité)re : Recurrence 19-09-04 à 15:45

bonjour emma,
oui c'est sur qu'avec x=9 sa ne marche pas
Mais la question d'avant il a été démontrer que la suite est majorée par 6
Donc -1>ou= x <ou=6.
on a x/3 + 4 > x pour -1 < x < 6
J'ai cherchez comment faire mais je ne vois toujours pas, je bloque complétement

Posté par moi-powa (invité)re : Recurrence 19-09-04 à 15:46

excusez moi , le premier terme est U0 = -1

Posté par Exo similaire

19-09-04 à 16:08

Re-Salut moi-powa ,

Pour t'aider, je vais résoudre un exo du même genre, mais avec des valeurs différentes .

EXO
Soit la suite (Un) définie par :

$3$\rm~\{{u_0~=~0\\u_{n+1}~=~\sqrt{u_n+2}$

Démontrer que la suite (Un) est croissante pour tout n entier naturel.

Démo par récurrence
Soit $P_n$ la propriété selon laquelle (Un) est croissante, càd que pour tout n entier naturel, on a $\rm~u_{n+1}~\geq~u_n$ .

*INITIALISATION : au rang n=0, on a $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$ . Or $\sqrt{2}>0$ , donc au rang n=0, la propriété $P_0$ est vérifiée.

*HÉRÉDITÉ : Démontrons que $P_n$ est héréditaire.
Suposons $P_n$ vraie, càd :

$\rm~u_{n+1}~\geq~u_n$

On a :

$\rm~u_{n+1}~\geq~u_n$
$\rm~u_{n+1}+2~\geq~u_n+2$
$\rm~\sqrt{u_{n+1}+2}~\geq~\sqrt{u_n+2}$
$\rm~u_{n+2}~\geq~u_{n+1}$

Ce qui traduit que $P_{n+1}$ est vraie.

CONCLUSION : $P_n$ est vraie pour n=0 et $P_n$ est héréditaire, donc pour tout n entier naturel, on a bien :
$\rm~u_{n+1}~\geq~u_n$
et la suite (Un) est donc bel et bien croissante pour tout entier naturel n.

Voilà, maintenant à toi de faire pareil avec ton exo .

À +

Posté par moi-powa (invité)re : Recurrence 19-09-04 à 16:13

ah oui merco , je comprends un peu mieu : il fallait introduire un U(n+2).
Merci à vous, Belge-FDLE et emma
bonne soirée

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