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récurrence

Posté par (invité) 15-11-03 à 16:20

soit X>-1
démontrer par récurrence que (1+X)^n>= 1+nX

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : récurrence 15-11-03 à 17:14

Soit X>-1

Pour n=1 :
(1+X)1 = 1+X
1+1×X = 1+X

Donc, pour n=1 :
(1+X)1 1+1×X
(c'est égal donc c'est sup. ou égal).


Supposons maintenant que :
(1+X)n 1+nX
On cherche à montrer que :
(1+X)n+1 1+(n+1)X

(1+X)n+1
= (1+X)n (1+X)
(1+nX) (1+X)
Or (1+nX)(1+X) = nX²+(1+n)X + 1
Et un carré étant toujours positif, on a nX²>0

D'où :
(1+X)n+1 1+(n+1)X

Ce qui démontre que l'hypothèse est vraie pour tout n.

Posté par (invité)re : récurrence 16-11-03 à 18:35

merci c super sympa!!



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