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Récurrence
Bonjour 
,
Je suis bloquée à cette question :
On considère la suite (un) définie par : u0=2 et, pour tout entier naturel n :
un+1 = (1+3*un)/(3+un).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 1.
Sur ma copie, j'ai écrit ceci :
un > 1 : Hypothèse de récurrence
un+1>1 : A démontrer
un > 1
3 * un > 1 *3
1+ 3un > 3+1
(1+3un)/(3+un) > 4/(3+un)
un+1 > 4*(3+un)
Or on imagine que 4/(3+un) = 1
4/1 = 3+un
4-3 = un
Donc 1 = un
Alors la propriété est juste, on a : un+1 > 1
en sachant que un =1
Donc un+1 > un =1
Je pense que j'ai fait quelques erreurs, donc je vous remercie d'avance pour vos réponses 
Bonjour,
une preuve par récurrence se fait en 3 points :
- Initialisation
- Hérédité
- Conclusion
je ne vois pas pas l'initialisation par exemple.
un > 1
3 * un > 1 *3
1+ 3un > 4
jusque là on est d'accord, ensuite fais la même chose pour le dénominateur et tu pourras conclure.
Oui en effet je n'ai pas tout recopié pour que ce soit plus court (Mais tout est sur ma copie).
Sauf que si je fais :
(1+3un)/(3+un) > 4/(3+un)
ce n'est pas la même chose que (1+3un)/(3+un) > 1
d'abord les parenthèses ne sont pas optionnelles...
ensuite
7>4 et 8 > 4 mais 7/8 < 1
ou bien
8> 4 et 7 > 4 mais 8/7 > 1
donc .....à revoir complètement....
pour comparer, on peut calculer la différence....soit un+1-1...et étudier son signe
Je dois avouer que j'ai fait une énorme erreur comme quoi il faut que je revois mes cours de (collège ? lycée ?). Enfin je ne vais pas essayer de me dédouaner, je laisse malou s'occuper du reste du sujet. Bonne journée malou et merci d'avoir corrigé une erreur aussi flagrante (shame on me).
un petit effort...
pour comparer, on peut calculer la différence....soit un+1-1...et étudier son signe
Un+1 -1 = (1+3*Un)/(3+Un) - (3+Un)/(3+Un) = (1+3*Un-3+Un)/(6+2*Un)
= (-2+4*Un)/(6+2*Un) = ((-2+4)/(6+2)) *1 = 1/4
1/4 > 0
Donc un+1 >1 ?
salut
est le quotient de deux fonctions affines croissantes donc on en peut rien conclure ...
permet de prouver l'hérédité
Bonjour,
Je reprends le calcul suivant qui est faux :
Un+1 -1 = (1+3*Un)/(3+Un) - (3+Un)/(3+Un) = (1+3*Un-3+Un)/(6+2*Un)
= (-2+4*Un)/(6+2*Un) = ((-2+4)/(6+2)) *1 = 1/4
Un+1 -1 = (1+3Un)/(3+Un) - (3+Un)/(3+Un) = (1+3Un-3-Un)/(6+2*Un) = (2un-2) / (3+un)
Le signe n'est pas très difficile avec l'hypothèse de récurrence.
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