Bonsoir,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cette question de récurrence.
J'essaie depuis déjà des heures mais je n'aboutis à rien.
Voici l'énoncé.
Montrer que, par récurrence, pour tout n appartenant à N*, on a : [2[/n-1][<= n! <= [n][/n].
Merci beaucoup!
Bonjour Delena
On veut bien t'aider, mais par contre, il va falloir que tu nous expliques tes notations
2^n-1 <= n! <= n^n.
Je ne sais vraiment pas utiliser les symboles mathématiques mis à notre disposition. Excusez moi!
Alors j'ai essayé de multiplier par 2 pour me débarrasser du 2^n-1 et pour avoir 2^n. Mais ensuite, je bloque. J'ai des 2 partout et cela ne devrait pas poser problème, je sais.
J'essaie alors de travailler avec les deux autres membres de l'inégalité ne multipliant par n+1 pour avoir (n+1)! mais là aussi je ne sais plus quoi faire après et je ne sais même pas si j'ai pensé correctement en faisant ça.
Merci d'avance!
Alors on commence à où on a bien donc c'est ok.
On suppose donc que pour tout entier on a et on veut montrer que .
Déjà, on peut commencer par l'inégalité de gauche.
Comme n est supposé plus grand que 1, alors , et par hypothèse de récurrence on a alors clairement .
Ceci nous donne
Pour l'inégalité de gauche :
On a trivialement donc par l'hypothèse de récurrence.
Ce qui nous donne : .
Or d'après le binôme de Newton
Je te laisse conclure.
Bonsoir,
est le produit de termes dont le plus grand est
.C'est aussi le produit par de termes dont le plus petit est .
salut
sinon pour n!nn on multiplie tout par (n+1) soit
(n+1).n!(n+1).nn (1) soit
(n+1)!(n+1).nn comme n < n+1 alors nn < n+1n . et en multipliant par (n+1) il vient (n+1).nn < n+1n+1 et avec l'inegalité (1) on a :
(n+1).n!(n+1).nn< n+1n+1 soit
(n+1).n!< n+1n+1
Y'a encore plus simple : la fonction est strictement croissante sur [1;+[
Il en va de même pour la suite correspondante.
Donc nn < (n+1)n+1
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