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Niveau Licence-pas de math
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Récurrence

Posté par
Delena
13-03-18 à 22:28

Bonsoir,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cette question de récurrence.
J'essaie depuis déjà des heures mais je n'aboutis à rien.

Voici l'énoncé.
Montrer que, par récurrence, pour tout n appartenant à N*, on a : [2[/n-1][<= n! <= [n][/n].
Merci beaucoup!

Posté par
jsvdb
re : Récurrence 13-03-18 à 22:30

Bonjour Delena
On veut bien t'aider, mais par contre, il va falloir que tu nous expliques tes notations

Posté par
Delena
re : Récurrence 13-03-18 à 22:32

2^n-1 <= n! <= n^n.
Je ne sais vraiment pas utiliser les symboles mathématiques mis à notre disposition. Excusez moi!

Alors j'ai essayé de multiplier par 2 pour me débarrasser du 2^n-1 et pour avoir 2^n. Mais ensuite, je bloque. J'ai des 2 partout et cela ne devrait pas poser problème, je sais.
J'essaie alors de travailler avec les deux autres membres de l'inégalité ne multipliant par n+1 pour avoir (n+1)! mais là aussi je ne sais plus quoi faire après et je ne sais même pas si j'ai pensé correctement en faisant ça.

Merci d'avance!

Posté par
jsvdb
re : Récurrence 13-03-18 à 22:57

Alors on commence à n = 1 où on a bien 1=2^0\leq 1!\leq 1^1=1 donc c'est ok.

On suppose donc que pour tout n\geq 2 entier on a P(n) := 2^{n-1} \leq n! \leq n^n et on veut montrer que P(n) \Rightarrow P(n+1).

Déjà, on peut commencer par l'inégalité de gauche.
Comme n est supposé plus grand que 1, alors 2 \leq n+1, et par hypothèse de récurrence on a 2^{n-1} \leq n! alors clairement 2.2^{n-1} \leq (n+1)n!.
Ceci nous donne 2^n \leq (n+1) !

Posté par
jsvdb
re : Récurrence 13-03-18 à 23:05

Pour l'inégalité de gauche :

On a trivialement n+1 \leq n+1 donc n!(n+1) \leq n^n(n+1) par l'hypothèse de récurrence.
Ce qui nous donne : (n+1)! \leq n.n^n + n^n = \red n^{n+1}+n^n.

Or d'après le binôme de Newton (n+1)^{n+1} = n^{n+1} + (n+1)n^n +\cdots\red \geq n^{n+1}+n^n

Je te laisse conclure.

Posté par
larrech
re : Récurrence 13-03-18 à 23:14

Bonsoir,

n! est le produit de n termes dont le plus grand est n
.C'est aussi le produit par 1 de n-1 termes dont le plus petit est 2.

Posté par
Delena
re : Récurrence 13-03-18 à 23:51

Merci infiniment!

Posté par
flight
re : Récurrence 14-03-18 à 00:09

salut

sinon pour n!nn  on multiplie tout par  (n+1)  soit

(n+1).n!(n+1).nn (1)    soit  

(n+1)!(n+1).nn   comme  n < n+1  alors  nn < n+1n . et en multipliant par (n+1) il vient   (n+1).nn < n+1n+1  et avec l'inegalité (1) on a  :

(n+1).n!(n+1).nn< n+1n+1  soit

(n+1).n!< n+1n+1

Posté par
flight
re : Récurrence 14-03-18 à 00:10

.plus clairement (n+1)!(n+1)n+1

Posté par
jsvdb
re : Récurrence 14-03-18 à 02:09

Y'a encore plus simple : la fonction x^x est strictement croissante sur [1;+[
Il en va de même pour la suite correspondante.
Donc nn < (n+1)n+1

Posté par
jsvdb
re : Récurrence 14-03-18 à 02:11

Bah super ! Ça nous sert à rien en fait 🤨



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