ouais et tiens nous au courant ...

PS : cet exo est un classique de récurrence (localement) "inversée" ...

Je retiens (j'avais pensé à une récurrence totale au début... cest ce qui m'aurait induit en erreur?)

Bonjour,
Je me posais justement la question sur cette récurrence "inversée".
Est-ce vraiment une récurrence ?
Voici le message que j'avais préparé avant la sympathique invitation de jsvdb (c'est où et quand ? )

Et bien moi, j'enfonce le clou :
La solution de carpediem est beaucoup plus simple que les autres

On peut la simplifier encore un tout petit peu pour justifier
"pour tout entier n il existe donc un entier m tel que " :
La suite (2^m) est une suite géométrique de raison 2. Elle a donc comme limite +.

Je pense que les limites de suites géométriques sont encore au programme.

@AnthoLopes,
Si tu ne comprends pas la récurrence ensuite, on peut la séparer en deux.

a) Si p A et q avec q < p alors p-q A .

b) Pour tout n de * il existe m tel que n < 2^m .
2^m - n < 2^m
D'après la question 1), 2^m A ; donc 2^m - (2^m - n) A .

a) se démontre en utilisant la propriété ii et une récurrence un peu spéciale.

Sylvieg je trouve cela un peu flou aux premiers abords... mais bon pourquoi pas

C'est amusant tous ces clous qui s'enfoncent ... on se croirait dans une menuiserie, mais visiblement les "simplifications" n'ont pas l'air de simplifier la vie de AnthoLopes.

Pour le Pastis, c'est du côté d'Angers, pour plus de précisions vous pouvez toujours me contacter ...

C'est un peu loin, dommage

Voici une rédaction complète et plus simple que la démonstration simple de sylvieg

On veut montrer que l'autre inclusion étant évidente, dès lors les deux donnent .

Soit et montrons que

Il existe tel que , or on sait que pour tout (réponse de la question n°1) et l'hypothèse de l'énoncé , on déduit que et puisque on déduit que

C'est exactement ce que j'ai raconté ...

Bonsoir,

Je préfère de loin l'idée (qui était aussi la mienne) qui se trouve ici récurrence. L'exo n'est pas un exo de Terminale, si bien qu'il n'est pas utile d'utiliser un outillage qui complexifie inutilement la preuve que l'on peut rédiger. C'est à AnthoLopes de faire l'effort de comprendre ce qui est écrit, en allant plus loin dans ses recherches.

Je pense avoir compris. Je vais travailler sérieusement ces méthodes de raisonnement

il serait temps de comprendre qu'il y a une différence entre le mathématicien et celui qui apprend !!!

la seule façon pédagogique (dans l'intérêt de "l'apprenant") est celle que j'ai proposée (sans aucun à priori ou quelconque orgueil de ma part)

utiliser proprement et clairement les deux hypothèses de façon rigoureuse et en détaillant les idées générales que j'ai données (détailler un peu plus la récurrence pour la pratiquer convenablement)

quant à la suite géométrique j'y ai pensé aussi .... mais après ... et ce n'est qu'un détail qu'on peut bien sur utiliser puisqu'on travaille dans N

et il n'est pas nécessaire de faire un raisonnement artificiellement par l'absurde comme le propose Boby ... et on peut très bien proposer cet exo en terminale ... très largement ...

malheureusement quand on voit l'absence totale de logique de nos élèves c'est évidemment malheureux ...

@ AnthoLopes

On travaille  dans    avec  le fait que c'est un ensemble totalement ordonné  tel que
   .toute partie non vide a un plus petit élément   et
   . toute partie non vide  majorée a un plus grand élément .

Une partie X non vide  de est dite
   ..héréditaire  à droite si  x + 1 X  dès que  x X .  
    ..héréditaire à gauche si x - 1 X dès que  x > 0 et   X  .



Le théorème de récurrence classique :
  Les éléments     héréditaires  à droite  sont les  D(a) := { x    │ x a }  ( a )  .

L'autre théorème (de récurrence  descendante si on veut ):
  Les éléments héréditaires  à gauche  distincts de sont les G(a) := { x   │ x a }   ( a )

Ils se démontrent  facilement par l'absurde .


Dans ton exo :
  Ton ensemble A est héréditaires  à gauche et contient { 2ⁿ │ n    } .
Pour montrer que A = * il  te suffit donc de montrer que pour tout x de *  il y a au moins un entier n tel que x < 2ⁿ  .
Tu peux  utiliser  (par exemple  ) l'écriture de x en base 2 .