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Niveau Maths sup
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récurrence

Posté par
AnthoLopes 17-07-19 à 22:58

Bonjour à tous,

J'entre en prépa l'année prochaine et j'essaie de prendre un peu d'avance, et je suis en train de revoir le raisonnement par récurrence. L'exercice est le suivant:

Soit A une partie de N* contenant 1 et telle que:
i) pour tout n dans A, 2n appartient à A
ii) pour tout n dans N*, si n+1 appartient à A, n appartient à A.

I) Montrer que pour tout n dans N, 2^m appartient à A.
II) Montrer que A=N*

La première question a été résolue facilement, on initialise avec 0 et en hérédité si 2^m appartient a A, 2x2^m=2^(m+1) appartient a A.
La deuxième me pose beaucoup plus de soucis.

Merci pour votre aide

Posté par
lefou666re : récurrence 17-07-19 à 23:06

Bonjour,

C'est quoi m ?

Posté par
jsvdbre : récurrence 17-07-19 à 23:37

Bonsoir AnthoLopes.

Pour traiter la II, montre que si p \in A, alors tous les entiers de 1 à p sont dans A (grâce à l'hypothèse ii)

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 17-07-19 à 23:37

Il n'est pas précisé dans l'énoncé

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 17-07-19 à 23:38

Je vais essayerjsvdb

Posté par
jsvdbre : récurrence 17-07-19 à 23:39

lefou666 @ 17-07-2019 à 23:06

C'est quoi m ?

Faute de frappe.
AnthoLopes @ 17-07-2019 à 22:58

I) Montrer que pour tout m dans N, 2^m appartient à A.

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 17-07-19 à 23:44

Voici l'énoncé (il s'agit de l'exercice 8)

** image supprimée **

Posté par
etniopalre : récurrence 18-07-19 à 00:00

Suppose que   A soit différent de  *  .  
B := *\ A  est donc non vide .
Soit b son plus petit élément .
   Montre alors  ( par récurrence ) que  pour tout n   on a : b + n B .
Il y a une contradiction avec  le résultat de la question 1 .

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 10:39

etniopal je suis  désolé je ne vois pas ce que tu veux dire :/

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 10:40

C'est déjà d'un niveau élevé par rapport au tien.
As-tu essayé ce que j'ai suggéré ?

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 11:31

Salut,
Ou alors une variante d' etniopal, qui consiste à montrer que A est majoré, en utilisant la contraposée \forall n \in \N^*,\; n\in C_E A\implies n+1\in C_EA et le plus petit élément de C_E A que l'on note \alpha, on déduit que pour tout n \ge \alpha , n\in C_E A

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 11:32

Bonjour jsvdb  

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 11:37

Bonjour mousse42.
AnthoLopes entre en prépa; il vient d'avoir son bac et donc tout ça ne lui parlera pas !

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 11:40

jsvdb d'après ce que j'ai compris de ta sggestion:

Soit k=(1;...;p) apparient a A, pour tout p dans N*.
Si p appartient à A, d'après la ii), p-1 appartient à A, puis p-2, p-3,..., 1 appartient à A. Après je ne vois pas :/

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 12:34

Dans l'hypothèse où p\in A, on a en effet \{1,\cdots,p\}\subset A, par contre, tu vas devoir trouver un p\in A qui va bien...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:43

Maintenant tu utilises la question I

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 12:46

Et en étudiant la parité de p+1 ?

Genre comme m appartient a A, m est compris entre 1 et p. Donc, si p+1 est pair, on peut dire que, m+1 est compris entre 2 et p+1 et donc que (m+1)/2 (qui est plus petit que m) est compris entre 1 et (p+1)/2 (qui est plus petit que p) et donc que p+1, donc p appartient à A d'après le ii). Puis si p+1 est impair, p+1+1 est pair et... nan je m'embrouille ?

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 12:47

non la question 1 comme l'a dit jsvdb

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:47

Fais simple : tu considère un entier n \in \N^*.
Alors tu sais que 2^n \in A.
Donc ... ?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:48

* considères

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:51

C'est un très bon exercice de méthodologie qui te permets d'apprendre à enchaîner les idées, sans se disperser, et utiliser les résultats déjà acquis au cours du problème.
C'est une compétence indispensable dans le supérieur.

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 12:53

Comme pour tout p appartenant à N*, p appartient à A, 2^p appartient à A?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:54

Oui, donc ?

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 12:56

Donc d'après a I) N* est inclus dans A?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 12:57

Oui, mais pourquoi ?

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 12:59

Car, pour tout p dans N*, 2^p appartient à A, donc 2^p-1, puis 2^p-2,..., 1 appartient à A?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 13:18

Oui, donc conclusion ?

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 13:21

Donc pour tout p dans N*, k=(1;...2^p)= A, donc N* inclus dans A donc A=N*?

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 13:33

AnthoLopes dans ton message :

AnthoLopes @ 18-07-2019 à 12:59

Car, pour tout p dans N*, 2^p appartient à A, donc 2^p-1, puis 2^p-2,..., 1 appartient à A?


Je veux juste m'assurer qu'il n'y a pas confusion :

Lorque tu écris "2^p-1", est-ce :1) 2^p-1 ou 2) 2^{p-1}??

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 13:36

(2^p)-1

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 13:41

ok, dans ce cas c'est bon.

Mais n'hésite pas à prendre une autre variable , on a déjà utilisé le p, plus haut

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 13:46

D'accord je prends note. Ma conclusion est donc bonne?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 13:56

AnthoLopes @ 18-07-2019 à 13:21

Donc pour tout p dans N*, k=(1;...2^p)= A, donc N* inclus dans A donc A=N*?

Plus précisément (et pour que tu vois bien les mécanismes et une bonne rédaction, ce qui est important)

pour tout p \in \N^*, \{1,\cdots,2^p\} \subset A.
Or si n \in \N^*, il existe un m\geq 0 tel que 2^m \leq n < 2^{m+1}
Comme \{1,\cdots,2^{m+1}\} \subset A alors n \in A.
Comme c'est vrai pour tout n \in \N^* alors \N^*\subset A.
Comme on avait déjà A \subset \N^*, on a A=\N^*

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 13:59

D'accord jai enfin compris... merci beaucoup, je vais retravailler ça

Posté par
carpediemre : récurrence 18-07-19 à 14:06

salut

franchement je ne comprends pas tout ce blabla ...

i/ permet de conclure immédiatement et par récurrence que toute puissance de 2 est dans A et donc que A n'est évidemment pas majoré

puisqu'on apprend en terminale que la fonction x \mapsto 2^x = e^{x\ln 2} a pour limite +oo en +oo

pour tout entier n il existe donc un entier m tel que n \le 2^m

ii/ permet alors de conclure immédiatement que n appartient à A par récurrence

puisque 2^m,  2^m - 1,  2^m -2,  2^m - 3,  ...,  n = 2^m - (2^m - n) appartiennent à A

épictou ...

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 14:17

carpediem pardon je n'ai pas tour compris...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 15:09

Ce qui n'a pas été compris, c'est que tu sors de terminale et que tout ça est hors de portée pour toi ...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 15:10

Au passage, je ne comprends pas pourquoi on en rajoute alors que tout était dit ...

Posté par
carpediemre : récurrence 18-07-19 à 15:12

Citation :
Soit A une partie de N* contenant 1 et telle que:
i) pour tout n dans A, 2n appartient à A
ii) pour tout n dans N*, si n+1 appartient à A, n appartient à A. <=> pour tout n > 1 : si n A alors n - 1 A
donc tout est clair ...

Posté par
carpediemre : récurrence 18-07-19 à 15:13

jsvdb @ 18-07-2019 à 15:10

Au passage, je ne comprends pas pourquoi on en rajoute alors que tout était dit ...
et plein de choses inutiles qui parasitent la compréhension élémentaire de cet exercice ...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 15:42

Dont ton intervention

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 15:54

carpediem je vais en rester aux explications de jsvdb que je comprends beaucoup mieux.

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 15:56

Une dernière chose jsvdb, je dois reformuler tout ça sous la forme d'un raisonnement par récurrence pour que la réponse soit correcte?

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 15:57

Si tu veux faire une petite récurrence, fais le, ça te fera un entraînement

Posté par
AnthoLopesre : récurrence 18-07-19 à 15:59

D'accord, je te remercie pour ton aide

Posté par
lafol Moderateurre : récurrence 18-07-19 à 16:02

Bonjour
pourtant carpediem propose une solution tout à fait accessible en terminale, et fort élégante, sans circonvolutions inutiles

Posté par
carpediemre : récurrence 18-07-19 à 16:06

jsvdb @ 18-07-2019 à 15:42

Dont ton intervention
fautpas prendre la mouche ainsi ... d'autant plus que je ne suis pas d'accord avec ta démo de 13h56 car tu n'utilises pas la propriété ii/ ...

maintenant il faut se poser des questions si AnthoLopes comprend ce que tu dis ... et pas ce que je dis ...

Posté par
mousse42re : récurrence 18-07-19 à 16:07

je ne veux pas enfoncer le clou, mais carpediem mérite deux bons points alors que jsvdb n'en mérite qu'un seul...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 16:12

Je botte en touche ...

Posté par
jsvdbre : récurrence 18-07-19 à 16:17

... et j'invite tout le monde à prendre le pastis à la maison ...

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