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récurrence
Bonjour,
J'aimerai avoir de l'aide s'il vous plait.
J'ai un exercice sur la récurrence le voici :
On considère la suite ( Un) définie par U0 = 2020 et Un+1 = racine de Un pour tout entier naturel n.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 <( ou égal ) Un+1 <( ou =) Un
2. Que peut-on en déduire pour la suite ( Un) ?
Merci par avance
en fait je suis bloquée à la première.
Je sais que d'abord on fait l'initialisation, je n'ai pas de problème la dessus. On trouve bien 0 < racine de 2020 < 2020 donc 0< U1 <U0 donc la propiété est verifiée.
Je bloque à l'hérédité, je sais qu'on doit supposer que pour tout entier naturel n on a 0 < Un+1 < Un et que cela ammène forcement à 0 < Un+2 < Un+1 mais après je en sais pas comment m'y prendre
Merci par avance
salut
quand on veut faire une récurrence il y a une hypothèse de récurrence !!
quelle est ici l'hypothèse de récurrence ? (la propriété P(n))
prends bien l'habitude de rédiger rigoureusement tes démos par récurrence;
ça aide beaucoup pour l'hérédité
soit P(n) la propriété à démontrer pour tout n : .........
initialisation : ....
hérédité :
hypothèse : soit k
P(k) est vraie soit 0 
Uk+1 Uk
montrons que : P(k+1) est vraie soit 0 Uk+2 Uk+1
pour la démonstration, tu pourras utiliser la définition de la suite et l'hypothèse posée.
* par définition on a Uk+2 = .....
et par hypothèse, on sait que .......
* or la fonction racine carrée est ....... (pense à sa variation)
* donc .....
je crois que je l'ai dit dans le message précédent:
Supponsons qu'il existe un entier naturel n tel que 0< Un+1 < Un et que cela ammène forcemment 0 < Un+2 < Un+1
Merci Carita !
mais du coup Un+2 = racine de Un+1 c'est bien ça ?
et la fonction carré est positive .
Désolé pour la rédaction mais notre proffesseur nous a dit de rédiger les phrases que j'ai faite et on " introduit " pas Pn
carita : non non tu peux poursuivre !!!
tu étais là avant et je pensais que tu n'y étais plus ...
je te laisse ...
juste pendant que je réponds :
mezn95 : ok
traite d'abord la positivité ... (c'est élémentaire)
ensuite n'oublie pas que : a < b <=> b - a > 0
je vous laisse ...
Sinon vous pouvez m'aider tout les deux si vous le voulez😁
Merci Carpediem
Mais du coup je ne vois toujours pas par où commencer la démonstration 😅
pour l'hérédité j'ai écris :
supposons qu'il existe un rang n appartenant à N tel que : 0< (ou =) Un+1 < ou = Un et montrons qu'on a alors forcément 0 < ou = Un+2 < ou = Un+1
On part de 0< Un+1 < Un
0< racine de Un +1 < racine de Un ( car la fonction racine est positif )
0 < Un+2 < Un+1
je crois que c'est pas très bon
la rédaction n'est pas terrible en effet
mais dans le principe, c'est ça.
explique davantage ce qui t'autorise à passer de la 1ère à la 2ème ligne
(je t'avais donné une piste 21-10-20 à 19:23)
ma question porte en fait sur :
comment peut-on affirmer, sur la seconde ligne, que les inégalités sont bien et pas 
?
piste : quelle est la variation de la fonction racine carrée sur [0;+inf[ ?
or....?
elle est croissante sur R+ plutôt
voilà
or une fonction croissante ...?.. l'ordre
D'accord merci beaucoup !!
Du coup pour la démonstration de l'hérédité j'ai terminé ?
Je me posais une question pourquoi le Monsieur Carpediem m'avait dit a < b <=> b - a > 0 ?
ok pour l'hérédité, mais soigne la rédaction.
3) qu'en penses-tu ?
le message de carpediem concerne sans doute la 3)
s'il s'agit d'autre chose, je lui laisse le soin de t'expliquer.
oui pas de soucis !
Pour la 2 ) on a 0 < Un+1 < Un
donc 0 < Un - Un+1
Un+1 < Un
La suite Un est donc décroissante ?
pour tout n ,
Un+1 Un
Un+1 - Un 0
suite décroissante, oui
mais pas que...
regarde dans le cours ce que l'on peut dire de plus.
Ah je pense que la suite est décroissante et minorée par 0. D'après la propriété, une suite réelle décroissante et minorée converge.
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