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Niveau Prepa (autre)
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récurrence

Posté par
Errorsystem
19-12-21 à 22:22

Bonsoir, j'ai du mal pour une simple récurrence sur mon exercice de maths. J'ai beau tourner mes formules dans tous les sens je n'y arrive pas. Je vous transcrit mon exo :

A l'aide d'une démonstration par récurrence, en déduire une expression de X'n en fonction de X'0 et D.

Voici les expressions dont je dispose :

X'n = P-1Xn
Xn+1 = AXn
A = PDP-1

A partir de ça je n'y arrive pas... merci d'avance pour votre aide et bonne soirée !

Posté par
Razes
re : récurrence 20-12-21 à 00:15

Tu commence ainsi,

PP^{-1}=I; 
 \\ X_{n+1} = AX_{n}\Leftrightarrow P^{-1}X_{n+1} = P^{-1}APP^{-1}X_{n}

Posté par
Errorsystem
re : récurrence 20-12-21 à 09:53

Ce qui me permet d'aboutir à X'_{n+1} = DX'_{n}

Ce qui ressemble beaucoup à une suite géométrique non ?

Posté par
ty59847
re : récurrence 20-12-21 à 15:40

A ma connaissance, l'expression de 'suite gométrique' s'emploie pour des suites à valeurs dans R ou dans C.
Ici, avec des matrices, c'est un abus de langage.
C'est comme le canada-dry, ça a le goût d'une suite géométrique, mais c'est tout.

Posté par
carpediem
re : récurrence 20-12-21 à 17:28

c'est discutable ...

si on considère qu'une suite géométrique est une suite d'objets (numérotés) tels qu'on passe d'un objet au suivant en multipliant par un même autre objet constant alors on peut parler de suite géométrique pour les matrices ...

PS : bien sûr cela nécessite de posséder une opération de multiplication entre les objets  !!

Posté par
Errorsystem
re : récurrence 21-12-21 à 16:57

D'accord merci à vous deux !

Mon hypothèse de récurrence est : X_{n+1} = AX_{n} ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : récurrence 21-12-21 à 17:44

Bonjour,

Errorsystem @ 20-12-2021 à 09:53

Ce qui me permet d'aboutir à X'_{n+1} = DX'_{n}

Ce qui ressemble beaucoup à une suite géométrique non ?
A partir de là, tu peux conjecturer une expression de X'n en fonction de n, X'0 et D.
Tu pourras alors la démontrer par récurrence.

Posté par
Errorsystem
re : récurrence 22-12-21 à 15:04

Sylvieg @ 21-12-2021 à 17:44

Bonjour,
Errorsystem @ 20-12-2021 à 09:53

Ce qui me permet d'aboutir à X'_{n+1} = DX'_{n}

Ce qui ressemble beaucoup à une suite géométrique non ?
A partir de là, tu peux conjecturer une expression de X'n en fonction de n, X'0 et D.
Tu pourras alors la démontrer par récurrence.


Evidemment ! Merci beaucoup à tous pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : récurrence 22-12-21 à 17:34

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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