Bonjour

D'abord tu commences par taper ton énoncé, les images ne permettent pas les référencements.

Pour faire l'exo, tu commences par initialiser (vérifier que c'est vrai pour n=1), puis tu supposes que c'est vrai pour n et tu démontres que ceci entraine que c'est vrai pour n+1.

Donc, Initialisation :
(1+1)² = 4, mais comment compléter l'initialisation ?

Non, pour , on a

salut

pour tout entier n ... donc pour n = 0 l'initialisation ...

Donc :
Initialisation :
1 + 3 = 2² , donc les propriété est vraie pour n = 1

Donc :
Initialisation :
1 = (0 + 1)² , donc les propriété est vraie pour n = 0

C'est bien ca ?

Bonjour, j'ai des difficultées pour cet exercice :

Exercice 3 :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, on a :

n
∑ (2𝑘 + 1)= 1 + 3 + 5 + …...  +(2𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)²
𝑘=0

Voici ce que j'ai déjà fais mais je suis bloqué :
Initialisation : 1 = (0+1)² donc la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier n ≥ 0 :
1 + 3 + 5 + …...  +(2𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)²

*** message déplacé ***

Initialisation : ∑ (2𝑘 + 1) = 1
                                (0+1)² = 1 donc la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier n ≥ 0 :
1 + 3 + 5 + …... +(2𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)²
Mais je suis bloqué

il suffit de rajouter 2n + 3 = 2(n + 1) + 1 ...

Je ne comprends pas

D'où vient 2n + 3 ?

dans ta somme après 2n + 1 il y a qui ?

(𝑛 + 1)² ?

si quelle est la somme "au rang suivant" ?

Bonjour
C'est bizarre : NolhamPrad a changé de nom pour Arthur18Me.
En attendant que ce dernier trouve le successeur de 2n+1, on pourrait utiliser la méthode du grand Leonhard Euler (qu'il aurait utilisée voire découverte à l'âge de 8 ans ! pour calculer la somme des n premiers entiers).
C'est quand même plus élégant qu'une récurrence barbante.
Elle est aussi valable  pour la somme des entiers  impairs.
On additionne terme à terme les deux expressions expressions :


et on obtient à droite le produit de n+1 termes dont chacun vaut 2n+2

certes mais quand on ne sait pas faire un raisonnement par récurrence il faut s'y frotter !!



le but n'est pas le but, c'est la voie qui compte Lao Tseu