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Récurrence d'une suite un +1

Posté par Profil person5 08-04-21 à 22:10

  Bonsoir,

J'ai la suite suivante :

un+1 = (4un + 3) / un+2

avec comme premier terme u0 = 0.

Je dois démontrer par récurrence que un >= 0 et que un - 3 <= 0.

J'ai essayé de retrouver un+1 dans l'inéquation en ajoutant des termes mais sans succès.

Toute aide serait grandement appréciée

Posté par
phyelec78
re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 22:26

Bonjour,

pour  un >= 0 montrez-moi votre démarche par récurrence et vos calculs

Posté par Profil person5re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 22:33

On suppose que la propriété est vraie au rang un, on a donc :
un >= 0
4un >= 0
4un+3 >= 3
(4un+3) / (un+2) >= 3 / (un+2)

Ici, je me suis demandé si j'avais le droit de diviser par un+2 comme je ne sais pas si cette valeur est négative ou non, mais c'était ma seule possibilité ce qui m'a mené au résultat :

un+1 >= 3 / (un+2)

Et si je pouvais prouver que 3 / (un+2) est supérieur ou égal à 0, alors un+1 le serait logiquement aussi mais c'est là que je suis bloqué.

Posté par
phyelec78
re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 22:40



un+1=(4un+3) / (un+2)
d'après votre hypothèse de récurrence un>= 0  donc 4un est >=0
donc 4un+3 >=0   et un+2 >0 donc un+1 est le quotient de nombre positif donc positif.

Et pour la suite qu'avez-vous fait?

Posté par Profil person5re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 22:51

Merci pour vos explications.

Pour un -3 <= 0, j'ai procédé de la même manière et donc essayé de faire apparaître un+1, en additionnant 3 de chaque côté de l'inéquation au début pour plus de simplicité et j'ai trouvé :

un+1 <= 15 / (un+2)

Donc un+1 - 15 / (un+2 <= 0

Posté par
phyelec78
re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 22:56


pourquoi "en additionnant 3"?! il faut faire -3

un+1 -3 =((4un+3) / (un+2)  )  -3

mettez tout au même dénominateur et vous pourrez conclure.
Dites mois ce que vous trouvez

Posté par Profil person5re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 23:03

Je trouve :

un+1 -3 = (un-3)/(un+2)

D'après l'hypothèse, un-3 est négatif et un+2 positif donc un+1 - 3 est bien négtif ?

Posté par
phyelec78
re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 23:05

Oui, le quotient d'un nombre négatif et d'un nombre positif est négatif . C'est la même règle que celle de la multiplication.

Posté par Profil person5re : Récurrence d'une suite un +1 08-04-21 à 23:14

Merci beaucoup pour votre aide !



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