salut

la dérivée n-ième d'une fonction s'écrit avec un exposant entre parenthèses :

c'est difficilement lisible sans "vrai" exposant

enfin connaissant les propriétés de l'exponentielle il est évident que je factorise par pour y voir plus clair

merci pour ta reponse, j'ai recopier avec les exposant bien mit et j'ai ajouté la factorisation par e^2x a la fin

f est la fonction définit sur R par f(x) = (1-2x)e^2x
On définit les dérivées successives de f par :  f¹= f'
et pour tout entier naturel n≥ 1, f^{n+1} =(f^{n} )'
1) Montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel n non nul : f^{n} (x) = 2^{n} (1-n-2x) e^2x

J'ai donc fait l'initialisation a n=1 et je trouve -4xe^2x et quand on factorise cela donne la formule
C'est pour l'hérédité que je bloque
Je suis parti de Pn :  f^{n} (x) = 2^{n} (1-n-2x) e^2x
Pour essayer d'arrivé a Pn+1 : f^{n+1} (x) = 2^{n+1} (1-(n+1)-2x) e^2x
J'ai donc dérivée Pn donc : (f^{n} (x) )'= (2^{n} (1-n-2x) e^2x )'
Seulement voila, je ne comprends pas comment dérivée,
j'ai essayer de faire (u*v)' en développant le 2^{n} avec la parenthèse
u = 2^{n}-n2^{n}-x2^{n+1}
u' = -2^{n+1}
v = e^2x
v' = 2e^2x
et donc u'*v+u*v' mais le résultat ne semble pas cohérent
-2^{n}e^2x+e^2x+2^{n+1}-n*2^{n+1} - 2x*2^{n+2} +2^{n}*e^2x-n*e^2x*2^{n}*e^2x-x*e^2x*2^{n+1}*e^2x
si je le factorise cela donne
e^2x(2⁽ⁿ⁾-n*2⁽ⁿ⁾-x*2⁽ⁿ⁺¹⁾-2⁽ⁿ⁺¹⁾ )+ 2(2⁽ⁿ⁾-n*2⁽ⁿ⁾-x*2⁽ⁿ⁺¹⁾)
c'est très long et tres loins de la réponse attendu
Comment dérivée 2^{n} (1-n-2x) e^2x  ? A l'aide de quelle méthode ?
Merci d'avance pour votre aide !
Je reste toute de meme trés loins du resultat ou est l'erreur ?je ne comprends pas

tu mélanges des puissances et des parenthèses

hypothèse :

il faut donc calculer la dérivée

a/ que peut-on dire du facteur ? conclusion ? (réviser les formules de dérivation de première)

b/ le produit restant est bien de la forme u * v qu'on dérive

à toi

Comme 2⁽ⁿ⁾ n'a pas de x c'est une constante
donc (k*g)' = k * g' donc on dérive "juste" (1-n-2x)e^2x
avec u = 1-n-2x
u' = -2
v = e^2x
v'=2e^2x
donc (f⁽ⁿ⁾(x))'=(2⁽ⁿ⁾(1-n-2x)e^2x)'
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=2⁽ⁿ⁾(u*v)'
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=2⁽ⁿ⁾(u'*v+u*v')
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=2⁽ⁿ⁾((-2)*(e^2x)+(1-n-2x)(2e^2x
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=2⁽ⁿ⁾(e^2x(2-2+1-n-2x)
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=2⁽ⁿ⁾(1-n-2x)e^2x

je ne comprends pas, je retombe sur la meme chose qu'au debut pourquoi ?

si je devellope avant
f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) =   2ⁿ   [-2e^2x+   (2-2n-4x)e^2x]
f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) =   2ⁿ   e^2x   [-2+2-2n-4x]
f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) =   2ⁿ   e^2x   [0-2n-4x]
c'est etrange, pourtant j'ai essayer de suivre ce que vous avez dit

donne moi simplement ce qu'il y a dans le dernier crochet sans aucune transformation et sans oublier que tu connais le résultat à obtenir :

1/ que voit-on immédiatement ?
2/ donc on effectue cette première action
3/ il reste alors ... qu'on réduit
4/ oh miracle !!!

PS : 1/ se voit immédiatement dans ta dernière ligne