Bonjour,  Araujo5.

Sur ce site, il n'est pas autorisé de donner une photocopie de l'énoncé. Un modérateur va enlever l'image que tu as jointe dans ton post précédent  (je ne suis pas modérateur ).
Je te suggère donc de recopier ton énoncé quand tu répondras à ce post.
Au lieu d'écrire

Citation :
Pour

Désolé de l'oubli !
L'énoncé est : Soit X un ensemble. Pour f fonction de X dans X, on définit f^0=id et par récurrence pour n ∈ N, f^n+1 = f^n ◦ f

1) Montrer que ∀n  ∈ N, f^n+1 = f ◦  f^n
2) Montrer que si f est bijective alors ∀ n ∈ N, (f^-1)^n = (f^n)^-1

J'ai tout a fait compris la première question, mais j'ai du mal avec le " f fonction de X dans X", et je ne sais pas réellement comment justifier que f^n+1 =  f ◦  f^n par une relation logique ??

Pour la question 2, il doit y avoir une relation de bijection réciproque ?
"S'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E"
Cela devrait me servir ?
A part ça, je ne sais pas vraiment sur quoi m'orienter pour gérer cet exercice de mon chapitre ?
Peut-être y a-t'il une histoire d'équivalence ou de réciproques qui m'échappe ?

Merci d'avance !

Dans cet énoncé  F(X,X) est l'ensemble des applications de X fers X  .
Si ce mot  application   agace les gencives de certains , il faut le remplacer par " fonction partout définie " ( ce qui évidemment est plus simple !!)  . Sinon il y aura pas mal de couples (f,g) qu'on ne pourra pas composer .

.Pour le 1 : On te dit que les fⁿ ( n ) sont définies par : f⁰ = Id_X et la relation   n     , fⁿ⁺¹ = f o  fⁿ  .

Il s'agit de montrer que la proposition " f F ,   n     , fⁿ⁺¹ =  fⁿ o f   .
Tu le fais par une récurrence , c'est à dire que  tu  montres que
  1.   f F on a : f¹ =  f⁰ o f  
2.Si  pour un entier n on a :   g F   gⁿ⁺¹ =  gⁿ o g  , alors on a   :   f F ,   fⁿ⁺² =  fⁿ⁺¹ o f   .

   .

Pour le 2 :
   Tu prends f dans F  que tu supposes bijective  et tu désignes par g sa réciproque  ( autrement dit g = f^-1 ) .

Il s'agit de montrer que pour tout n    , fⁿ  est bijective et que  ( fⁿ )^-1 = gⁿ .

    

J'ai tenté ça, plausible ?
Et merci de l'indication etniopal !
1) ∀𝑛,𝑓𝑛=𝑓𝑛−1𝑜𝑓, donc : 𝑓𝑜𝑓𝑛=𝑓𝑜𝑓𝑛−1𝑜𝑓=𝑓1+𝑛−1𝑜𝑓=𝑓𝑛𝑜𝑓

2) Il faut faire une récurrence ??

Initialisation : (𝑓0)−1=(𝑓−1)0=𝑖𝑑 car (𝑖𝑑)𝑜(𝑖𝑑)=𝑖𝑑

Hypothèse de récurrence : (𝑓−1)𝑛=(𝑓𝑛)−1

Traitement : (𝑓−1)𝑛+1=(𝑓−1)𝑛𝑜𝑓−1

=(𝑓𝑛)−1𝑜𝑓−1

=(𝑓𝑜𝑓𝑛)−1

=((𝑓𝑛+1)−1

Conclusion :∀𝑛,(𝑓−1)𝑛=(𝑓𝑛)−1