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Niveau Licence Maths 1e ann
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Récurrence (intégrale)

Posté par
Joaninha
10-10-15 à 16:32

Bonjour,

On a un DM à rendre en Intégrale (la matière.)
Le but du DM est de calculer une somme. Bref dans une question annexe, on doit montrer l'égalité suivante :

(n=-N jusqu'à N) zn = (zN+1-z-N-1+zN-z-N)/ (z-z-1)

Je voudrais essayer la récurrence. Seulement j'ai un doute quant au n que je dois faire varier.
J'initialise à N = 0 et ensuite je suppose que c'est vrai au rang N et je montre le rang N+1 ou vrai au rang n et je montre que c'est tjr vrai au rang n+1 ? Sur le coup je démarrais avec le choix du n mais ça me semble pas bon, je pencherai plus pour N et N+1 maintenant...

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 16:44

bonjour : )

pourquoi une récurrence ?

somme des termes successifs d'une suite géométrique,

S(-N <= n <= N) = S(-N <= n <= -1) + S(0 <= n <= N) puis avec un changement de variable, tu auras à calculer :
S(1 <= n <= N)(1/z)^n + S(0 <= n <= N)z^n ...

Posté par
Joaninha
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 17:12

Oups... trop tard. J'ai réussis à le démontrer par récurrence. J'avais essayer avec la somme des termes d'une suite géom. Mais j'ai du me planter quelque part. Ca me semblait plus rapide par réccurence...

Par contre dans la q° d'après :

en posant eix= z, montrer que :
1 + 2(n=1 à N) cos(nx) = (sin[(N+1)x]+ sin(Nx)) / sin(x) = (sin[(N+1/2)x)])/sin(x/2)

Je me rends bien compte que (*) = 1 + (n=1 à N) zn+z-n
Je suppose que je dois décomposer ma 1ere égalité (premier message) :

(- N à 0 ) + (1 à N) = (-N à N)
donc (1 à N) = (-N à N) - (-N à 0) c'est juste ?

et puisque ma premiere somme ne concerne que le zn j'ai juste à additionner avec la somme des z-n c'est ça ? Peut être aps le plus rapide, mais j'évite de me tromper comme ça ahah

Posté par
Joaninha
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 17:17

Ahhhh, ça y est, j'ai compris comment faire grace à ton message mdr_non.
J'avais du mal à voir comment faire avec ma somme de -N à 0 enfin en utilisant ce que nous donne l'énoncé.. Donc il vaut mieux que pour la question que je viens d'exposer, j'utilise la formule de la somme des termes d'une suite géometrique = 1- qnbr d'éléments/ 1-q

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 18:15

bon la récurrence est très rapide,

(et celle-ci porte sur N naturellement CAR n n'est qu'un indice muet, on peut très bien changé pour n'importe quoi d'autre,
\sum_{n=-N}^N z^n = \sum_{i=-N}^N z^i = \sum_{j=-N}^N z^j

Soit N \geq 0 fixé, on suppose que \boxed{\sum_{n=-N}^N z^n = \frac{z^{N+1} - z^{-N-1} + z^{N} - z^{-N}}{z - z^{-1}}}.
Alors
\sum_{n=-(N+1)}^{N+1} z^n = z^{-N-1} + \sum_{n=-N}^N z^n + z^{N+1} 
 \\ 
 \\ = \frac{z^{-N} - z^{-N-2}}{z - z^{-1}} + \frac{z^{N+1} - z^{-N-1} + z^{N} - z^{-N}}{z - z^{-1}} + \frac{z^{N+2} - z^{N}}{z - z^{-1}} 
 \\ 
 \\ = \frac{z^{N+2} - z^{-N-2} + z^{N+1} - z^{-N-1}}{z - z^{-1}}

récurrence établie.


Maintenant on pose z = e^{ix},  x \in \mathbb{R}, et on applique la formule tout simplement,

\sum_{n=-N}^N e^{nix} = \sum_{n=-N}^{-1} e^{nix} + 1 + \sum_{n=1}^N e^{nix} 
 \\ = \sum_{n=1}^{N} e^{-nix} + 1 + \sum_{n=1}^N e^{nix} 
 \\ 
 \\ = 1 + \sum_{n=1}^{N} (e^{nix} + e^{-nix}) = \frac{e^{i(N+1)x} - e^{-i(N+1)x} + e^{iNx} - e^{-iNx}}{e^{ix} - e^{-ix}}

il reste à appliquer la formule d'Euler,

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 18:16

changer*

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 18:19

les formules d'Euler (pour cos et sin), et... une identité trigonométrique,

Posté par
Joaninha
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 19:56

Merci beaucoup pour ton aide, j'ai pu retrouver facilement les deux sinus du numérateur, et celui du dénominateur, j'ai plus qu'à chercher dans mes identités, mais ça devrait le faire. Merci beaucoup

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 10-10-15 à 20:11

de rien : )

si tu ne trouves pas tu peux essayer de t'inspirer de ce vers quoi on doit arriver,
et en fait on doit utiliser deux identités trigonométriques : )



(N + 1)x = Nx + x/2 + x/2
Nx = Nx + x/2 - x/2

Posté par
Joaninha
Limite d'intégrale 17-10-15 à 16:34

Bonjour à tous,

alors j'avais déjà posté la dernière fois sur le forum ici même : https://www.ilemaths.net/sujet-recurrence-integrale-653567.html
à propos d'un DM.

Aujourd'hui, je bloque à nouveau sur une question. Je ne voudrais pas avoir la réponse, mais quelques pistes afin de m'aiguiller.
Voilà le pb.

Soit f : [0;] uen fonction de classe C1. Montrer à l'aide d'une IPP que :
lim (N)\[ \int_{0}^{\pi} f(x)\sin((N+1/2)x) \, \mathrm{d}x \]= 0

J'ai fait mon IPP et je me retrouve avec :

[f(x) * (-1) cos( (N+1/2)x) * 1/(N+1/2) ] + f'(x)*Cos( (N+1/2)x) * 1/(N+1/2)dx avec x allant de 0 à pi

Ma premiere partie (primitive) est égale à f()*(-1)cos(N+1/2) * 1/(N+1/2) + f(0)*1/(N+1/2) or Cos(N + /2) = 0 car N donc la partie entre crochet est égale à f(0) * 1/(N+1/2) 0 quand N

alors il me reste ma deuxième partie d'intégrale. Je ne sais pas trop comment m'y prendre, je ne vois pas comment intégrer. Alors j'ai plusieurs bout d'idées mais je n'arrive pas à les exploiter, voir même à savoir si c'est faisable.

J'ai penser utilisé le fait que 1 + 2(1nN)cos(nx) = [ Sin ( (N+1/2)x ) ] / sin(x/2)
mais le pb sera le même je ne sais pas comment intégrer... je pense qu'il faut faire autre chose... un petit coup de mains svp...

*** message déplacé ***

Posté par
ThierryPoma
re : Matrices stochastiques inversibles 17-10-15 à 16:54

Bonjour Lafol,

J'espère que tu vas bien. Je suis intervenu dans un fil dont l?intervenant avait déjà ouvert un autre fil qui lui est lié. Je lui donnais cette idée :

Bonjour,

Sans avoir vérifié ce que tu as fait. L'on a assez clairement

\left|f'(x)\,\cos\left(\left(N+\dfrac{1}{2}\right)\,x\right)\right|\leqslant\left|f'(x)\right|\leqslant\|f'\|_{\infty}

Bonne journée !


J'espère que tu sauras l'intégrer où il faut, car je n'aime pas travailler pour rien.

Thierry

arf, tu as dû poster au moment précis où les topics étaient fusionnés !
pour éviter ce genre de désagrément, tu peux regarder sur le profil du demandeur, pour vérifier s'il n'a pas déjà posté son énoncé, et répondre sur le plus ancien des exemplaires de son multipost : on envoie les plus récents dans le plus ancien, donc pas de risque de poster sur un topic en train de disparaître.


*** message déplacé ***

Posté par
Joaninha
re : Récurrence (intégrale) 17-10-15 à 18:19

Bon, alors désolée pour tous les désagréments ... Je pensais qu'il fallait un post par question.

En tous cas merci d'avoir répondu. Par contre je ne connais pas la notation ||f'||...
(désolée de vous faire travailler pour pas grand chose ahah)

Posté par
Joaninha
re : Récurrence (intégrale) 17-10-15 à 18:49

Alors voilà mon raisonnement par rapport à votre message.

Donc | f'(x)cos( (N + 1/2)x ) | |f'(x)|
si on intégre on a donc :

| f'(x)cos( (N + 1/2)x ) | dx |f'(x)| dx = | f() - f(0) |

on multiplie notre intégrale par 1/(N + 1/2) et elle est donc inférieur ou égale à | f() - f(0) | / N + 1/2   0 quand N
Donc lim de cette intégrale tend vers 0

Etes vous d'accord avec ça ?

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 28-10-15 à 08:17

bonjour : )

Citation :
|f'(x)| dx = | f() - f(0) |

non cette égalité n'est pas vraie,

tu devrais pousser plus loin et écrire comme ThierryPoma : \left|f'(x)\,\cos\left(\left(N+\dfrac{1}{2}\right)\,x\right)\right|\leqslant\left|f'(x)\right|\leqslant\|f'\|_{\infty}
et tu seras débloqué,

Posté par
mdr_non
re : Récurrence (intégrale) 28-10-15 à 08:19

sinon après pour le reste ce sera pareil, on divise par N + 1/2 et la limite est bien 0,

à bien rédiger,



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