Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Récurrence pdf LLG/H4.

Posté par
Hugo0w 27-07-22 à 22:05

Bonjour, je me suis mis à faire le pdf de transition terminale vers prépa de LLG et H4, mais impossible de trouver une correction et je bute sur un exercice :

"Montrer que, si n , il existe un entier n impair tel que :  (52)n = 1 + n2n + 2"


Pas de problème avec l'initialisation  52 s'écrit 1 + 3x8

C'est sur l'hérédité que je galère, je veux montrer que "(52)n+1 = 1 + n2n + 3".

Mon idée est de multiplier par 52 de chaque coté pour avoir (52)n+1 à gauche;
et à droite je transforme le 52 par 1 + 3x8, avec pour but de retrouver un nombre impair.

Mais je trouve pas comment aller plus loin, j'ai pensé à écrire n sous la forme 2k + 1 où k mais je vois pas l'intérêt.

Merci d'avance!

Posté par
LeHiboure : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 00:23

Bonjour,

Il n'y a peut-être pas besoin de récurrence.
Ecris  5 = (1 + 4) = (1 + 2²)
Rappelle toi que (5²)n = 52n
Et pense à la formule de développement du binôme (a + b)n = ...

Posté par
LeHiboure : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 00:33

Sinon, la récurrence peut marcher aussi :
(5²)n = 1 + n22n+2
5²n+1 = 5²n.5²
Et avec 5² = (1+4)² = (1+2²)² = 1 + 2.2² + (2²)² = 1 + 23 + 24
Il vient :
(5²)n+1 = (1 + n22n+2)(1 + 23 + 24)
Je te laisse développer et regouper ce qui peut l'être...

Posté par
LeHiboure : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 00:35

Excuses, c'est :
(5²)n+1 = (1 + n2n+2)(1 + 23 + 24)

Posté par
larrechre : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 08:13

Bonjour,

J'ai un doute , tu as regardé le cas n=3 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 08:22

Bonjour,
Moi aussi j'ai un gros doute sur l'énoncé...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 08:35

J'ai été voir l'énoncé dans

L'exposant de 5 est 2n.
Et c'est dans la partie récurrence.

Posté par
lakere : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 14:04

Bonjour,

Un petit complément (qui tient compte de la rectification se Sylvieg) :

  

Citation :
C'est sur l'hérédité que je galère, je veux montrer que 5^{2^{n+1}}=1+\lambda_n.2^{n+3}


Non, tu dois montrer (à partir de l'hypothèse de récurrence) que :

  5^{2^{n+1}}=1+\lambda_{n{\red +1}}.2^{n+3}

Autrement dit l'hérédité consiste à trouver une suite (\lambda_n) de termes impairs en déterminant une relation de récurrence \lambda_{n+1}=f(\lambda_n)

Posté par
Hugo0wre : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 15:57

Merci pour les réponses !

Citation :
L'exposant de 5 est 2 n.

Oui désolé, je réussissais pas à mettre de double exposant, et j'ai mis une parenthèse (alors que c'est plus la même chose !)
Mais ducoup ça m'a permis de comprendre mon erreur : j'ai confondu (52)n avec 5 exposant 2n.

Je pense avoir trouvé la solution : On multiplie par 5 exposant 2n :

5^{2^{n+1}}= ( 1+\lambda _{n}.2^{n+2})^{2} \\ 5^{2^{n+1}}=1+ \lambda _{n}.2^{n+3} + \lambda _{n}^{2}.2^{2n+4} \\ 5^{2^{n+1}}=1+(\lambda _{n}^{2}.2^{2n+2} +\lambda_{n}).2^{n+3}

Et \lambda _{n}^{2}.2^{2n+2} +\lambda_{n} est impair.

Citation :
Autrement dit l'hérédité consiste à trouver une suite (\lambda_n) de termes impairs en déterminant une relation de récurrence \lambda_{n+1}=f(\lambda_n)


Ducoup je suppose que :

\lambda_{n+1}=f(\lambda_n) = \lambda _{n}^{2}.2^{2n+2} +\lambda_{n}

C'est bien ça ?

Posté par
lakere : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 17:52

Citation :
5^{2^{n+1}}=1+ \lambda _{n}.2^{n+3} + \lambda _{n}^{2}.2^{2n+4}


Oui mais ta factorisation dans la ligne suivante est fausse.

\lambda_{n+1}=\lambda_n+\lambda_n^2.2^{n+1} qui, avec \lambda_0=1, est bien une suite d'entiers naturels impairs.

Posté par
Hugo0wre : Récurrence pdf LLG/H4. 28-07-22 à 19:56

Citation :
Oui mais ta factorisation dans la ligne suivante est fausse.

\lambda_{n+1}=\lambda_n+\lambda_n^2.2^{n+1} qui, avec \lambda_0=1, est bien une suite d'entiers naturels impairs.


Oui erreur de recopiage !

Merci beaucoup à tous !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence pdf LLG/H4. 29-07-22 à 08:07

Bonjour,
Plusieurs remarques ci-dessous.

Sur la confusion entre 5^{2^{n}} et \left(5^{2} \right)^{n} :
Je me suis toujours obligée à mettre des parenthèses quand une loi n'est pas associative ; donc, ici, j'aurais écrit dans l'énoncé 5^{\left(2^{n} \right)}.

Pour l'initialisation :
Elle se fait avec n = 0 et pas n = 1.

Pour la fin de l'hérédité :
Il serait plus clair, à mon avis, de parler d'entiers impairs que de suite.
Au départ, 5^{2^{n}} = 1+k\times 2^{n+2} avec k entier impair.
A l'arrivée 5^{2^{n+1}} = 1+k'\times 2^{n+3},
après avoir donné l'expression de k' en fonction de k et justifié que k' est bien impair.

Posté par
lakere : Récurrence pdf LLG/H4. 29-07-22 à 23:02

Bonsoir Sylvieg

Tu as raison bien sûr mais :

Citation :
après avoir donné l'expression de k' en fonction de k et justifié que k' est bien impair.


  ce que tu suggères ressemble furieusement à une suite qui ne veut pas avouer son nom

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence pdf LLG/H4. 30-07-22 à 07:38

Oui, et de toutes façons l'énoncé l'introduit...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !