Récurrence polynôme

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Récurrence polynôme
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stra  01-01-18 à 17:18
Bonjour, pour un exercice je dois montrer que la somme des (1/2)^k est inférieur à 1. (k de 1 à n et n strictement supérieur à 0).

J'ai procédé par récurrence et je me retrouve à montrer :

(somme des(1/2)^k)+(1/2)^(n+1) inférieur à 1.

Donc je sais que la (somme(1/2)^k) est inférieur à 1 par hypothèse de récurrence et que par définition  (1/2)^(n+1) inférieur à 1/2 et (1/2)^n>(1/2)^(n+1).

J'ai donc (somme des(1/2)^k+(1/2)^(n+1) inférieur à 1+(1/2). 

Mais je vois pas comment je peux montrer que (somme des (1/2)^k+(1/2)^(n+1) inférieur à 1 .
 Posté par 
lakere : Récurrence polynôme  01-01-18 à 17:29
Bonjour,

Tu peux la calculer en fonction de  ta somme; pas besoin de récurrence. 
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  01-01-18 à 17:31
salut

ou meme trouver un encadrement de  (1/k)   k compris entre 1 et n
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  01-01-18 à 17:32
oups !! ne  pas tenir compte de ma reponse 
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  01-01-18 à 17:32
c'est tout simplement la somme des termes d'une suite geometrique 
 Posté par 
alainpaulre : Récurrence polynôme  01-01-18 à 18:41
Bonsoir,

Prendre 'une' feuille de papier =  1  ,la  couper en deux  une moitié =1/2  

que représente 1/2 , 1/2+1/4  . . .

Alain
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  01-01-18 à 19:28
...si tu veux vraiment faire une reccurence 

on suppose que la proprieté  (1/2)k >0   est vraie 

alors  (1/2)k  ( k compris entre 1 et n+1)  vaut  

(1/2)k  ( k compris entre 1 et n)  +1/2   

comme  (1/2)k > 0   est supposé  vraie  

 (1/2)k  +1/2 > 1/2    soit  

 (1/2)k  ( k compris entre 1 et n+1)  >0    donc la proprieté 

est aussi à l'ordre n+1
 Posté par 
strare : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:21
oui mais là tu montres que la somme est supérieure à 0 et moi je veux montrer qu'elle est inférieure à 1. Bref je suis perdue. Qqn peut-il voler à mon secours ? :/
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:22
dans ton enoncé il y a ecrit ceci

Citation :
 je dois montrer que la somme des (1/2)^k est inférieur à 1. (k de 1 à n et n strictement supérieur à 0). 

t'a changé d'avis ?
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:23
oups désolé j'ai mal lu ...!
 Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:31
ta somme  vaut de toute facon  Sn = 1- 2.(1/2)n+1)= 1- (1/2)n

la limite à l'infini donne 1 
 Posté par 
stroppycowre : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:32
Bonjour,

Pourquoi tu n'utilises pas l'argument proposé par tout le monde ? Il s'agit des sommes d'une suite géométrique de raison 1/2.

  Posté par 
flightre : Récurrence polynôme  02-01-18 à 17:34
on peut donc si on veut par reccurence prouver que  1-(1/2)n <1 

si on considere cette proprieté vraie alors  en multipliant les deux membres par 1/2 il 

vient    1/2 - (1/2)n+1  < 1/2   qui peut se transformer en  

(1-1/2) - (1/2)n+1  < 1/2  soit aussi 1-(1/2)n+1  < 1 

c'est ce qu'il te fallait ?