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Récurrence simple

Posté par
Oile
20-09-23 à 17:33

Bonjour à tous,
J'ai un exercice de maths à faire sur la récurrence simple :
Soit (Un) la suite définie par U0 = -2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = (1/Un) -3
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
-4 < Un < -2

Pour l'instant, j'ai réussi à initialiser la suite pour n=0, mais pour l'hérédité je bloque, j'arrive à trouver des nombres de chaque côté mais il ne correspondent pas à ce qu'ils devraient.
-4\leq u_{k}\leq -2
\frac{1}{-4}\leq \frac{1}{u_{k}}\leq \frac{1}{-2}
\frac{1}{-4}-3\leq \frac{1}{u_{k}}-3\leq \frac{1}{-2}-3
\frac{1}{-4}-\frac{-12}{-4}\leq u_{k+1}\leq \frac{1}{-2}-\frac{-6}{-2}
-\frac{13}{4}\leq u_{k+1}\leq -\frac{7}{2}

Sauf que cela ne va pas car les extrémités ne correspondent pas avec celle de l'énonce et là je ne sais plus quoi faire, merci à ceux qui pourront m'aider

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 17:44

bonjour,


-4\leq u_{k}\leq -2   (1)

\frac{1}{-4}\leq \frac{1}{u_{k}}\leq \frac{1}{-2}  (2)

attention, quand tu passes de (1) à (2) tu dois inverser le sens de l'inégalité  

finalement tu obtiens  

-3,5     <     Un+1     <   -3,25   (3)
c'est ça ?
sur cette ligne (3), place    les nombres -4  et -2   à leur place..  Vas y !

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 17:52

Merci, j'ai essayé mais quand je rentre ma fonction et ensuite les deux nombres, je devrais avoir (de haut en bas ): le terme de gauche ensuite la fonction et plus bas le terme de bas mais ce n'est pas ce que je trouve car les deux extrémités se trouvent du même côté par rapport à la fonction

Récurrence simple

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 17:53

La courbe bleu est la fonction et les deux autres courbes sont les éxtrémités mais normalement elles devraient être en haut et  en bas de la courbe pour la délimiter, c'est cela que je ne comprend pas ...

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 17:59

si je te donne une somme   comprise entre  10  et   15 euros,
  13   <   S  <  15  
et  j'affirme que cette somme est comprise entre  10 et 16 euros, je dis la vérité ou pas ?

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 17:59

***  pardon
si je te donne une somme   comprise entre  13  et   15 euros,
  13   <   S  <  15  
et  j'affirme que cette somme est comprise entre  10 et 16 euros, je dis la vérité ou pas ?

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:03

Oui la je suis d'accord

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:05

je dis la vérité car  
10   <  13   <   S    <   15   <  16  
j'ai placé   10 et 16  à leur place dans l'inégalité, qui se retrouve encadrée.

toi, tu trouves :

-3,5     <     Un+1     <   -3,25   (3)
sur cette ligne (3), place    les nombres -4  et -2   à leur place..  Vas y !

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:10

Ha ok ...
Merci beaucoup, du coup je trouve :
-3.25>-4>Un>-2>-3.5

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:13

tu te trompes !
tu n'as pas mis -4  et -2  à leur place et tu n'as pas repris l'inégalité correctement, si bien que tu écris que -4 est plus grand que -2 !

repars de      -3,5     <     Un+1     <   -3,25  
recommence.

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:17

-4  <  -3,5  <  Un+1  <  -3,25  <  -2

Comme ça... je viens de comprendre
fin je crois ...

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 18:20

oui, là, c'est correct.
  
ton calcul a montré que Un+1   est  compris entre -3,5  et   -3,25 ,

donc il est forcément compris entre  -4  et -2

OK ?

Posté par
Oile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 19:03

Ok merci, vous m'avez bien aidé

Posté par
Leile
re : Récurrence simple 20-09-23 à 19:44

je t'en prie, bonne soirée

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Récurrence simple 20-09-23 à 22:27

Bonsoir Oile,
tu n'es plus en première, peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?



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