avec 0 < x₀ < y₀

Bonsoir
Tu peux considérer la propositions Pn : "x_n<x_(n+1)<y_(n+1)<y_n"
qui est l'intersection des trois inégalités dont elle est composée

On aura alors la croissance de (x_n) et la décroissance de (y_n), qui justifieront respectivement x_0<x_n et y_n<y_0

Bonjour,
Des inégalités qui peuvent servir avec 0 < a < b :
a < (a+b)/2 < b , a < (ab) < b , (ab) (a+b)/2

Si tu ne les as pas vu en cours, tu peux les démontrer au préalable.

Salut lorsque tu fais ton intialisation,
Tu considères la propriété P(0)

Maintenant pour ton hérédité, tu supposes qu'il existe un entier naturel k tel que P(k) est vraie, et tu montres que P(k+1) est vraie.

Par contre il faut changer P car si n vaut zéro, on se retrouve avec

salut

peut en manipulant les expressions de départ pour commencer .... :

y_n+1²= 1/4(xn² +yn²) + xn.yn =1/4(xn² +yn²) +  x_n+1²   comme  y_n+1²- x_n+1² = 1/4(xn²+yn²)

....

(y_n+1-x_n+1)(y_n+1+x_n+1)=1/4(xn²+yn²)

puis ensuite utiliser le fait que xn et yn sont des suites à termes positifs ...(je dis tout ca sommairement )

Bonsoir,

Est-on obligé d'utiliser la récurrence pour cette chaine d'inégalités, pourquoi ne pas montrer que les termes des suites sont positifs par récurrence, ensuite pour le reste, il me semble que ce ne soit pas nécessaire.

salut

plus ou moins d'accord avec mousse42

on veut démontrer : avec   (*)

1/ on démontre la positivité par récurrence (comme le dit mousse42) soit   (se fait en français en deux lignes)

2/ (*) est alors quasiment immédiat par récurrence (on démontre la propriété de Zormuche) en deux sous-étapes :
-  croissance de la suite (x_n) et décroissance de la suite (y_n)   (PS : c'est du niveau collège)
-  x_n < y_n    (PS : c'est aussi du niveau collège et c'est la troisième inégalité que donne Sylvieg)

dans tous les cas il est bon de savoir démontrer les trois inégalités donner par Sylvieg pour qui se destine à faire des math ...