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récurrence sur la fonction exponentielle

Posté par
romy14356
29-12-20 à 20:42

Bonsoir à tous, voilà j'ai une démonstration à faire pour la rentrée et je bloque dessus depuis un moment...
pourriez vous me donner quelques pistes ?

*Pour p entier naturel non nul, on considère la fonction Gp définie sur R par Gp(x)=exp(x)-(x^p/p!).
  a)Justifier que Gp'(x)=Gp-1(x)
  b)Démontrer par récurrence que pour tout p de N* et tout x ≥ 0 Gp(x)≥ 0.

Je n'ai eu aucun mal à faire la a).
Cependant pour la b) je n'ai réussi à faire que l'initialisât ion de la récurrence.
Je ne sais pas vraiment comment partir pour l'hérité même si je me doute que la question a) va m'être utile

Posté par
dirac
re : récurrence sur la fonction exponentielle 29-12-20 à 20:48

Hello

As tu pensé à utiliser le résultat de la question a)  ?

Posté par
romy14356
re : récurrence sur la fonction exponentielle 29-12-20 à 21:09

dirac @ 29-12-2020 à 20:48

Hello

As tu pensé à utiliser le résultat de la question a)  ?


j'ai essayé oui mais je n'y suis pas complètement parvenu, j'imagine qu'il va falloir utiliser le fait que si la dérivée est positive la fonction est croissante.
Ainsi comme g0(x)>=1 si la dérivée est aussi positive alors gp(x)>=0 ?
je ne suis pas sure de moi

Posté par
romy14356
re : récurrence sur la fonction exponentielle 29-12-20 à 21:10

j'ai fait une erreur: g0(x)>=0 (et pas à 1)

Posté par
dirac
re : récurrence sur la fonction exponentielle 30-12-20 à 07:17

ok, que peux tu dire de Gp(0) ?



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