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Niveau terminale
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Récurrence terminaleS

Posté par Papillon5 (invité) 24-09-04 à 11:22

Bonjour svp aidez moi c'est pour lundi
On considère  la suite (Un) définie par: u0 égale 2, u1 égale 4, U indice n+1 égale 4Un- U indice n-1 pour tout n supérieur ou égale à 1
1) Trouver deux réls a et b tels que: a+b égale 4
                                      ab égale 1
2)on note (Vn) la suite n: U indice n+1- a Un. démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique. Déterminer sa raison
3)On note (Wn) la suite n: U indice n+1 - b Un. Déterminer que la suite (Wn) est géométrique.Déterminer sa raison
4)Exprimer Vn et Wn en fonction de n, puis en déduire l'expression de Un en fonction de n.
aidez moi svp

Posté par minotaure (invité)re : Récurrence terminaleS 24-09-04 à 13:14

salut
pour la 1) resoude x^2-4x+1=0 (identite remarquable)
2)
je recapitule
u(n+1)=4u(n)-u(n-1)
v(n)=u(n+1)-au(n)
pour demontrer que (vn) est geometrique on regarde
v(n+1)/v(n)=A
A=(u(n+2)-au(n+1))/(u(n+1)-au(n))=...

La suite dans 6 heures, j'suis au boulot...

Posté par djheart (invité)re : Récurrence terminaleS 24-09-04 à 20:06

pour la 1) resoudre x^2-4x+1=0 (identite remarquable)
KOI???????????

en koi est-ce une Identité remarquable?
(x²-4x+1) serait egal a koi? pas a (-x + 1)² ni (-2x +1)² sinon se serait 4x² - 4x + 1 x^2-4x+1 donc voila
je n'ai pas tt suivi ms deja ca ca m'a irriter l'oeil
@+++ si je me trompe dites le moi  

Posté par Emma (invité)re : Récurrence terminaleS 24-09-04 à 20:08

Salut djheart !

Même sans identité remarquable, tu dois pouvoir résoudre cette équation...
Par exemple, calcule le discriminant \Delta...

@+
Emma

Posté par minotaure (invité)re : Récurrence terminaleS 24-09-04 à 20:18

les 6 heures sont ecoulees ouf!!!
on reprend :
x^2-4x+1=0=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3=(x-2-rac(3))(x-2+rac(3))

d'ou a=2-rac(3) et b=2+rac(3) (ou inversement)

on prend a=2-rac(3)

A=(u(n+2)-au(n+1))/(u(n+1)-au(n))=((4-a)u(n+1)-u(n))/(u(n+1)-au(n))=(2+rac(3))u(n+1)-u(n))/(u(n+1)-(2-rac(3))u(n))=(bu(n+1)-u(n))/(u(n+1)-au(n))
on voit que (2-rac(3))*(2+rac(3))=a*b=1
c'est a dire a est l'inverse de b.
on factorise le numerateur par b :

A=b*(u(n+1)-au(n))/(u(n+1)-au(n))=b d'ou v(n+1)/v(n)=b
et ce pour tout n>=1
reste a voir v1/v0
u2=4*u1-u0=14
v0=u1-au0=4-2a
v1=u2-au1=14-4a=-2+4b=b(4-2a)
d'ou v1/v0=b
la suite (v(n)) est bien geometrique, sa raison est
b et son premier terme 4-2a

a et b joueant des roles symetriques dans les questions
2) et 3), il est facile de vérifier que
(w(n)) est une suite géomtrique de raison a et
de premier terme 4-2b

4) bilan

n>=0
v(n)=(b^n)*(4-2*a)
w(n)=(a^n)*(4-2*b)

v(n)=u(n+1)-a(u(n))
w(n)=u(n+1)-b(u(n))
d'ou v(n)-w(n)=(b-a)*u(n)

d'ou u(n)=((b^n)*(4-2a)-(a^n)*(4-2b))/(b-a), n>=0
bye



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