Autre piste :
envoie [1;3/2] dans [1;3/2]

Oui merci à toi c'est ce que j'ai finalement fait entre temps... Je n'ai vraiment plus les idées très claires sur les suites

Je t'en prie.

Supposons que 1 <= U(n) <= 3/2

1 <= (U(n))² <= 9/4

3 <= (U(n))² + 2 <= 17/4

3/2 <= [(U(n))² + 2]/2 <= 17/8

Or
U(n+1) = ((U(n))²+2]/(2U(n))

U(n+1).U(n) = ((U(n))²+2]/2

--> 3/2 <= U(n+1).U(n) <= 17/8

Et comme U(n) est positif
--> (3/2)/Un(max) <= U(n+1) <= (17/8)/Un(min)

(3/2)/(3/2) <= U(n+1) <= (17/8)/1

1 <= U(n+1) <= (17/8)

et donc a fortiori : 1 <= U(n+1) <= 3/2
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Autrement:

f(x) = (x/2) + (1/x) avec x dans [1 ; 3/2]

f '(x) = (1/2) - (1/x²)
f '(x) = (x²-2)/2
f '(x) = (x-V2)(x+V2)/2  (Avec V pour racine carrée)

f '(x) < 0 pour x dans [1 ; V2[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = V2.
f '(x) > 0 pour x dans ]V2 ; 3/] -> f(x) est croissante.

f(x) est minimum pour x = V2, ce min vaut f(V2) = V2 = 1,41 ... --> f(x) >= V2 et a fortiori f(x) >= 1

La valeur max de f(x) est soit en x = 1, soit en x = 3/2
f(1) = 3/2
f(3/2) = (3/4) + (2/3) = 1,41...

--> f(x) <= 3/2

Et on a donc 1 <= f(x) <= 3/2 pour x dans [1 ; 3/2]

Si U(n) est dans [1 ; 3/2], on a donc  1 <= f(U(n)) <= 3/2

1 <=  (U(n)/2) + (1/U(n))  <= 3/2

1 <= U(n+1)  <= 3/2

Donc si U(n) est dans [1 ; 3/2], on a aussi 1 <= U(n+1)  <= 3/2    (1)
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U(0) = 1 -->  on a:  1 <= U(0) <= 3/2
Comme 1 <= U(0) <= 3/2, on a, par (1), que 1 <= U(1) <= 3/2
Comme 1 <= U(1) <= 3/2, on a, par (1), que 1 <= U(2) <= 3/2
...
Et ainsi de proche en proche, on a: 1 <= U(n) <= 3/2 pour tout n de N.
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Sauf distraction.  

J-P, je ne suis pas sûr de comprendre le :

1 <= U(n+1) <= (17/8)
et donc a fortiori : 1 <= U(n+1) <= 3/2

Non, c'est faux.

Distraction.