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Recurrences, suites, convergences
Bonjour!
énoncé :
Soit (Un) la suite définie sur N par u(0) = 3 et, pour tout n >= 0, u(n+1)= SQRT(1+u(n)^2)
1. Emettre une conjecture sur l'expression u(n) en fonction de n.
2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Je me vois bloqué dès le début de l'exercice, et je n'ai que trouvé que lim n
u(n+1) = u(n)
S'il vous plaît pourriez-vous m'aider! 
Pardonnez mes erreurs si j'en viens à en faire!
Je trouve :
u1= SQRT(1+3^2) = SQRT(10)
u2= SQRT(1+SQRT(10) ^2) = SQRT(11)
u3= SQRT(1+SQRT(11)^2) = SQRT(12)
u4= SQRT(1+SQRT(12) ^2) = SQRT(13)
u5= SQRT(1+SQRT(13)^2) = SQRT(14)
Je peux supposer la conjecture que u(n) = SQRT(9+n)
Par recurrences je vais donc demontrer cette recurrence!
Merci de m'avoir aider! J'ai etait maladroit de ne pas calculer les premiers termes !
Initialisation :
u(0) = 3
u(0) = SQRT(9+0) = 0
Donc u(0) est vrai.
Hérédité :
On suppose que u(n) est vrai pour tout n >= 0, si u(n) est vrai alors u(n+1) est vrai pour tout n >= 0.
u(n+1) = SQRT(1+u(n)^2)
= SQRT(1+SQRT(9+n) ^2)
= SQRT(1+9+n)
u(n+1 ) = SQRT(9+n+1)
Donc u(n+1) est vrai.
u(0) et u(n+1) sont vrais, par récurrences u(n) est vrai sur tout n >= 0, la conjecture est donc vrai.
Je ne suis pas sûr de la rédaction mais encore merci!
Hérédité :
On suppose que u(n) est vrai pour tout n >= 0,
montrons que si u(n) est vrai alors u(n+1) est vrai pour tout n >= 0.
il est préférable pour prendre une bonne habitude, de définir la propriété à démontrer :
hérédité :
soit P(n) la propriété, vraie à un rang n quelconque : u(n) = 
(n+9)
montrons qu'elle est également vraie au rang n+1, soit P(n+1) : u(n+1) = (n+10) ------ là, tu définis clairement ton objectif
le reste est ok.
pense toutefois à bien spécifier la conclusion (3ème étape)
jette un oeil ici si tu veux 
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
la conclusion récapitule les 2 parties (indispensables) précédentes :
- l'initialisation prouve que P(0) est vraie (1er terme de la suite)
- l'hérédité prouve si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie
ainsi, dans la conclusion, on peut écrire que, par récurrence, 
n
, P(n) est vraie.
personnellement, pour la partie hérédité, je préfère cette rédaction.
hérédité :
soit k ---- on prend un k quelconque de , cela évite de "confondre" avec n
hypothèse : p(k) vraie etc
montrons que : p(k+1) vraie etc
formuler clairement l'hypothèse ET la partie à démontrer peut aider parfois,
comme points de repères visuels, lorsque la démonstration elle-même est plus difficile que celle que tu as eu à faire.
vient ensuite la démo elle-même.
conclusion :
... n ...
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