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Rédaction d'une récurrence
Salut à tous,
je lance ce fil pour savoir comment vous vous y prenez en lycée pour rédiger l'hérédité d'un raisonnement par récurrence.
Nous débattions entre collègues en salle des profs de ce sujet et nous ne sommes pas tout à fait d'accord sur un point.
Dans les manuels, je vois souvent 3 types de rédaction pour introduire la partie hérédité. Elles diffèrent uniquement sur la phrase d'intoduction :
J'appelle la propriété à démontrer pour tout
(où
est bien entendu le rang de l'initialisation.
1ère rédaction : soit . On suppose que
est vraie. On a alors (...) et donc finalement,
est vraie. D'où l'hérédité.
2e rédaction : soit tel que
soit vraie . On a alors (...) et donc finalement,
est vraie. D'où l'hérédité.
3e rédaction : Supposons qu'il existe tel que
soit vraie. On a alors (...) et donc finalement,
est vraie. D'où l'hérédité.
J'ai appris l'an dernier en prépa agreg que la 3e rédaction était incorrecte car l'hérédité consiste à montrer que
et non
.
Le "supposons qu'il existe" prête donc à confusion.
En revanche, les 2 premières rédactions me semblent correctes mais j'ai un collègue qui explique aux élèves que la 1ère rédaction est incorrecte car selon lui, il n'y a aucune raison que soit vraie.
Mais dans ce cas, la 2e rédaction ne le serait pas non plus je pense.
Voilà, je sais bien qu'au lycée, l'objectif n'est pas d'être aussi tatillon et désolé si vous trouvez que ce message relève du détail mais la question me taraude et ça m'embêterait de donner de mauvais réflexes de rédaction à des élèves qui se destineraient à des études de maths (même si j'en ai conscience, ils se font de plus en plus rares...)
Je vous ajoute également ce petit manuel de bonne rédaction mathématique 
(que vous connaissez peut être) que j'ai trouvé très instructif.
Merci de m'avoir lu et dites moi quelle rédaction vous préconiseriez en lycée.
Manu 
Bonjour manu_du_40
En revanche, les 2 premières rédactions me semblent correctes mais j'ai un collègue qui explique aux élèves que la 1ère rédaction est incorrecte car selon lui, il n'y a aucune raison que
Non, c'est la seconde qui est incorrecte.
En effet, on annonce que l'on prend un un
Ici, le choix de k est lié à la véracité à priori de
La 1ere rédaction est correcte.
En effet, on annonce que l'on prend un
On suppose ensuite
Puis on bosse sur l'hérédité.
Ici, le choix de k est lié à la véracité à posteriori de
Salut jsvbd et merci pour ta réponse.
Ici, le choix de k est lié à la véracité à priori de
Si on initialise avant de rédiger l'hérédité, un tel k existe forcément puisque k=n_0 convient.
Je suis d'accord que ce serait incorrect sans initialisation mais dans le cas d'une récurrence "classique" (où la propriete à demontrer serait vraie) , il n'y a pas de problème si ?
Si si, il y a un soucis !
Si tu dis : "soit tel que
soit vraie", alors en réalité, tu fixes le n et tu omets le
de la récurrence.
Cela revient à dire : ma propriété est vraie au rang , montrons que cela entraîne sa vérité au rang
. Très bien, du coup ma propriété est vraie en
et
.
Maintenant, si tu dis : soit , quelconque. On suppose, indépendamment du k, que P(k) est vraie. Alors là, on tiens compte du
de la récurrence. Et on démontre P(k+1).
D'accord jsvdb. Je crois que j'ai besoin d'un peu de temps pour bien comprendre la différence entre les deux rédactions mais je vois ce que tu veux dire. Merci pour ta réponse. C'est quand même fou que de petits détails comme cela puissent remettre en cause une démonstration mathématique.
salut
quand j'étais élève (en TC) j'ai toujours commencé par l'hérédité (qui est l'exercice mathématique) l'initialisation n'étant qu'une trivialité (remplacer n par une valeur et vérifier que c'est vraie ... bof) ...
pour la suite je t'invite à lire ces posts (je ne trouve plus les autres ..)
Raisonnement par récurrence et les deux lien donnés par ab12
Axiome de récurrence
demonstration par recurrence
Exercice "Récurrence tardive"
les deux derniers liens montrent qu'une propriété peut-être héréditaire à partir d'un rang m mais vraie à partir du rang n > m
et c'est alors que l'initialisation prend toute sont importance ...
enfin si n < m alors le raisonnement par récurrence ne permet pas de prouver que c'est vrai pour tout k >= n et il faudra utiliser autre chose pour prouver que c'est vrai entre n et m avant de conclure par récurrence ...
...
ha j'ai oublié :
1/ il n'y a pas de récurrence faible ou forte ou à deux rangs ou à k rangs : il y a une proposition P(n) à démontrer ... et tout le pb est ce qu'on met dans cette proposition
2/ ne pas oublier que dans 99 % des cas l'exercice commence par : montrer que ...
on sait donc que c'est vrai et l'exercice de style est de rédiger ce raisonnement par récurrence !!!
(et c'est pourquoi je commence toujours par l'hérédité (99 % du boulot d'un tel raisonnement)
Salut carpediem, si je comprends bien ce que tu dis dans ce long fil Raisonnement par récurrence :
tu préconises d'en écrire le moins possible pour être inattaquable.
La bonne rédaction serait donc : Soit ,
.
La bonne rédaction serait donc : Soit
Exactement !
A mes élèves, je leur donne toujours le même protocole de rédaction :
1- On repère bien sa propriété P(n) et le rang R à partir duquel on veut la démontrer.
2- On montre P(R).
3a- Soit
3b- On suppose P(k) et je leur fais écrire P(k) avec un (HR) (Hypothèse de Récurrence en précisant que tout au long de la démo ils peuvent s'en servir). Je précise que P(k), on la suppose logiquement vraie, même si elle n'est mathématiquement fausse (ce qui permet les exos à base d'hérédité sans initialisation possible).
3c- But : Montrer P(k+1) et je leur fais écrire P(k+1).
3d- Rédaction.
Et je leur montre que d'écrire soigneusement ce protocole, c'est faire les 3/4 du boulot, le reste n'étant que de l'observation pour passer de P(k) à P(k+1).
En deux heures de séance c'est plié.
manu_du_40 : non il n'y a pas de n_0
je commence toujours par l'hérédité et par :
soit n un entier tel que P(n) est vraie
ou
supposons P(n) vraie pour un entier n
(ces deux phrases me semblant équivalentes)
puis s'il apparait dans le raisonnement une condition sur n par exemple n >= 9 je conclus par :
donc la propriété est héréditaire à partir du rang 9
ensuite j'initialise (une simple vérif....) au rang adéquat (très souvent donné dans l'énoncé) et je conclus
si bien sur le rang de véracité est inférieur strictement à 9 je devrai tester les cas restants ...
dans la plupart des cas une propriété est héréditaire avant même d'être vraie (mais on s'en fout car de toutes façons F => F et F => V est vraie
et nous ce qui nous intéresse et c'est le rôle de l'initialisation c'est d'avoir V => V
donc pas besoin de ce n_0 ...
D'accord Carpediem. Intéressant de commencer par l'hérédité , même si c'est contraire à ce que j'ai appris en terminale. Mais après tout, pourquoi pas ?
Par contre, il existe quand même des propriétés où le travail d'initialisation est plus complexe que celui de l'hérédité même si dans la plupart des cas , tu as raison (je pense par exemple à la preuve du théorème des restes chinois).
soit n un entier tel que P(n) est vraie
ou
supposons P(n) vraie pour un entier n
Je le croyais aussi mais le post de jsvdb d'hier à 15:56 semble dire que non...
En terminale, je suis d'accord, c'est couper les cheveux en 4. Mais dans le supérieur, il est probable que les enseignants chercheurs soient plus tatillon. Du coup, j'aimerais (et c'est le but de mon post) donner aux élèves un modèle de rédaction passe-partout.
Merci à vous deux.
Manu
la propriété dépendant d'un entier n il me semble très suffisant d'écrire ce que j'ai écrit ... (voir les liens de alb12 dans mon premier lien)
maintenant écrire seulement soit P(n) vraie me semble suffisant aussi ... mais en lycée (et même dans le supérieur) on a tellement de mauvaises rédactions que je préfère mettre ce que j'ai dit ... (avec la/une variable)
de toute façon on veut montrer P(n) => P(n + 1) : il faut donc bien passer d'un entier n à son successeur !!! et donc introduire/nommer ce n ... (qu'il existe ou pas c'est une introduction "formelle")
ar contre, il existe quand même des propriétés où le travail d'initialisation est plus complexe que celui de l'hérédité même si dans la plupart des cas , tu as raison
mais la question a été posée ici :
Raisonnement par récurrence
avec un autre exemple aussi éventuellement
Puissance de 13
Bonjour,
Discussion intéressante, l'enseignant de mon enfant n'a pas du tout écrit "P(n)" et j'ai beau lui répéter de le faire..ça rentre mal ... Bref elle est paumée sur ce thème . Pouvez vous me confirmer qu'au bac on exige d'écrire P(n) ?
Merci.
c'est tellement variable d'un enseignant à l'autre ...
pour ma part j'écris toujours P(n) puisque l'affirmation dépend d'un entier n (et qui est une variable muette donc on peut en changer facilement dans le cas d'une récurrence que d'aucuns appellent "forte")
et je préfère cette notation à une notation indicielle ... que les élèves ne savent pas écrire ...
il n'y a donc pas d'exigence stricte au bac ...
Salut bernardo314
Certains collègues font le choix de ne pas nommer la propriété P(n) car en terminale , le principe de récurrence est abordé dans le chapitre sur les suites.
Et comme il n'est pas rare que les élèves mélangent des objets de nature différente, on voit souvent fleurir des choses du genre :
"On suppose que P(n)>200 ..... On a finalement P(n+1)>200 donc P(n+1) est vraie".
Pour ma part, je fais le choix de l'écrire comme carpediem en insistant sur le statut de l'objet P(n) mais ça n'empêche pas toujours les non-sens.
Cela dit, moi même rédigeait mal jusqu'à ce que je me fasse tailler sur la copie de ma 4e composition lors de la préparation à l'agrégation (j'utilisais la 3e rédaction de mon 1er post sur ce topic) et le plus étrange, c'est que j'avais aussi utilisé cette rédaction lors des 3 premières compos et on ne m'en avait nullement tenu rigueur.
Le souci est que chaque professeur (y compris en lycée) a un peu ses marottes de rédaction et, pour éviter que les élèves en pâtissent, on décide souvent (au bac) de ne pas sanctionner les problèmes de rédaction.
Mais j'ai quand même l'impression que sur le plan du raisonnement par récurrence, même les professeurs d'université ne sont pas vraiment d'accord entre eux sur ce qui est correct, incorrect mais toléré et incorrect intolerrable 
.
Manu
un exemple de ce que tu dis : récurrence
l'autre gros pb c'est la notion de logique qui n'existe plus ... et par conséquent de valeur de vérité d'une proposition (et bien sûr accentuée par la médiocrité du français)
pour ma part j'ai vu les tables de vérités dès la seconde ...
j'aime bien poser cela en classe :
j'écris au tableau 2 = 3 et je demande à mes élèves si j'en ai le droit ...
certains à tout niveau et filière vont me répondre non ...
pourtant c'est la base du raisonnement par l'absurde ...
c'est pourquoi je suis très rigoureux : j'écris toujours :
supposons que P(n) est vraie (et non pas supposons P(n))
...
de rien ...
et une dernière remarque cependant :
il faut bien sûr distinguer à quel public on s'adresse ...
et le rôle d'un enseignant est d'instruire pas de faire des math !!
Salut
Voici un document intéressant sur la didactique du raisonnement par récurrence disponible jusqu'au 29 octobre 2021 à 18:52
Sinon comme le dit jsvdb, dans la seconde version :
" soit
on a un
La première on prend un
super !! très intéressant 
merci de nous faire partager ce document dans lequel je retrouve tant de choses que je ne cesse de répéter ...
je n'ai pas tout lu pour l'instant mais je vais vite le faire ...
ah zut,
j'arrive trop tard pour voir ton document mousse42. J'étais en vacances et ne me suis pas connecté sur 
.
Si tu l'as toujours, peux tu me faire un petit lien wetransfer ?
Merci pour ton message.
Manu
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