salut

si P(0) = 0 etP(0) <> 0 alors il existe un réel a non nul  tel que P s'écrit x + ax^2 + ...

donc P(u) = uQ(u) = u(I + au + ...)

u et Q(u) sont premiers entre eux ...

pardon ce que j'ai écrit n'est pas correct ... mais il y a peut-être une idée derrière ...

carpediem @ 05-11-2021 à 13:51

si P(0) = 0 alors il existe un polynome Q non nul  tel que P(x) = xQ(x)

donc P'(x) = Q(x) + xQ'(x)

P'(0) 0 =>Q(0) 0

u et Q(u) sont premiers entre eux ...

Q(0) 0 => Q(x) = a + x(...) avec a non nul

donc Q(u) = aI + u(...)

bonjour,
Ici comme le corps est C, et P(U)=0  le spectre de U  est constitué de racines de P dans C,
un des sous espaces spectraux est Ker(u) (car p(0)= 0 )

Bonjour,

Non désolé   Domorea  P(0)= 0  n'implique pas que 0 soit valeur spectrale.

Est-ce que tu connais le lemme des noyaux ?  Sinon suit l'idée de carpediem ....

Dites moi si cela vous paraît correct:
En reprenant l'idée de carpediem,
Le polynôme annulateur de u P est de la forme avec r, un entier naturel inférieur ou égal à n ( car P(0)=0 ) donc avec et X et Q premiers entre eux.
D'après le théorème de décomposition des noyaux, .
En passant cette égalité aux dimensions et en utilisant le théorème du rang, on obtient que , il ne faut montrer qu'une inclusion pour avoir l'égalité entre nos 2 ensembles:
Soit Alors, donc
…(a est bien différent de 0 comme carpediem l'a justifié) donc en posant …, il existe , .
D'où le résultat
Merci de votre aide

C'est … bien sûr

il n'y a aucune raison que r soit inférieur à n : P peut avoir n'importe quel degré ...

plutôt écrire Q(u)(y) = 0

pour le reste ça semble être ça ...

En effet ..
Merci de votre aide !

de rien