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Reduction d endomorphisme

Posté par
aliasalea 12-12-18 à 00:08

Bonjour à tous,
Je planchais sur un probleme de reduction d endomorphisme :
Soit (M)=transposée(M)  où M est une matrice carré à coefficient réel.
J ai donc que ^2 =Id(M).
Je dois demontrer que le polynôme minimal est X^2-1 et je ne parviens pas trouver comment bien le rediger.
J ai le polynôme caractéristique qui est X^2-1 fin du moins ça me paraît intuitif et donc j ai les deux valeurs propres 1 et -1.  Mais comment  bien le representer dans une matrice, j ai mis les valeurs propres mais apres avoir effectué le calcul ça ne correspond pas à une transposition.
Merci pour toute pour vos réponses

Posté par
verdurinre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 00:23

Bonsoir,
on peut écrire ce qu'on veut, mais si on veut écrire des choses ayant un sens mathématique on écrit
  « ^2 =Id »
ou  
  « pour tout M ^2(M) =M ».

Pour la suite le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique et a les mêmes racines.
Ce qui laisse très peu de choix.

Posté par
aliasaleare : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 01:46

Merci pour cette réponse, d accord  j avais bien saisis cela. Mais pour la représentation de cet endomorphisme dans une matrice je ne trouve pas, du moins même en immiscant les valeurs propres, je n arrive pas à me convaincre que cela correspond à la bonne transformation, à savoir la transposée.

Posté par
perroquetre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 04:19

Bonjour, aliasalea.

Je corrige d'abord une faute sur le polynôme caractéristique qui en fait est égal à      (X-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} (X+1)^{\frac{n(n-1)}{2}}  .
(n étant la taille des matrices considérées)
Je ne détaille pas ce calcul du polynôme caractéristique parce qu'il y a un moyen plus rapide d'obtenir le polynôme minimal dans le cadre de cet exemple.

Puisque  \varphi^2 = Id,  alors, X^2-1 est un polynôme annulateur de \varphi. Le polynôme minimal de \varphi est donc un diviseur de X^2-1. Je te laisse continuer le raisonnement.

Posté par
luzakre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 08:18

Bonjour !
Concernant la représentation tu dois évidemment utiliser une base de l'espace des matrices.
Tu ordonnes les matrices élémentaires (un seul coefficient vaut 1) (il faut prendre une décision si tu mets E_{2,1} avant ou après E_{1,2}.

La matrice de M\mapsto M^T est alors facile à écrire mais pas facile à exploiter !

Si tu regardes les espaces propres tu vois alors qu'il est plus intéressant de prendre une base en séparant matrices symétriques et matrices antisymétriques.
Typiquement : E_{i,i},\;1\leqslant i\leqslant n,\;\;(E_{i,j}\pm E_{j,i}),\;1\leqslant i<j\leqslant n.
Dans une telle base tu auras une matrice diagonale.

Posté par
aliasaleare : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 09:57

Merci encore pour toutes vos réponses
Donc pour retrouver l expression du polynome caractéristique de perroquet
Il faut que je prenne une base:
Si on se place dans la base canonique de M2()
[1,0]    [0,1]   [0,0]   [0,0]
[0,0]    [0,0]   [1,0]   [0,1]
Je transpose
[1,0]    [0,0]   [0,1]   [0,0]
[0,0]    [1,0]   [0,0]   [0,1]
Et donc il faut ecrire les matrices dont on veut avoir la transposée dans cette base?

Posté par
luzakre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 12:40

Tu écris les coordonnées, dans la base choisie, de la matrice M et tu auras une matrice 4*4 pour l'application étudiée.
Par exemple, en notant A,B,C,D tes matrices, dans l'ordre choisi, tu auras
M=\begin{pmatrix} x &y \\z &t \end{pmatrix}=xA+yB+zC+tD puis
M^T=xA^T+yB^T+zC^T+tD^T=xA+yC+zB+tD.

Mais la matrice, toujours dans cette base, de M\mapsto M^T sera \begin{pmatrix} 1 &0&0&0 \\0 &0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}

Mais si tu veux calculer le polynôme caractéristique il est plus simple de prendre pour base :

\begin{pmatrix} 1 &0 \\0 &0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix} 0 &0 \\0 &1 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}  0&1 \\1 &0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix} 0 &1 \\-1 &0 \end{pmatrix}
Soit 3 matrices symétriques et 1 matrice antisymétrique.
La matrice de ton application sera alors diagonale \mathrm{diag}(1,1,1,-1)

C'est très facile de généraliser à un nombre quelconque de lignes. Ce sera plus difficile si tu prends la base canonique.

Posté par
aliasaleare : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 21:58

Merci beaucoup luzak,
Je comprend mieux. Mais si on voulais obtenir la  matrice de cette transformation en 2*2 on aurait pris quoi comme base? Si je reprend la base de matrice symetrique et antisymetrique on a :
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 -1
1 0 1 0
C est bien ça

Posté par
lafol Moderateurre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 23:02

Bonjour

aliasalea @ 12-12-2018 à 00:08


J ai le polynôme caractéristique qui est X^2-1 fin du moins ça me paraît intuitif

un polynôme caractéristique de degré 2 ? dans un espace de dimension (quelque chose)² ?
ça ne te choque vraiment pas ? drôle d'intuition

Posté par
luzakre : Reduction d endomorphisme 12-12-18 à 23:11

Citation :
Mais si on voulais obtenir la  matrice de cette transformation en 2*2

Question hors sujet !
La transformation est une application entre un espace de dimension 4 et lui-même !
..............................................................................
Citation :
on a :
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 -1
1 0 1 0
Ce "on a " concerne quoi exactement ?
Je suppose qu'il y a une matrice 4*4 (difficile à lire sous cette forme)  et je ne la vois ni symétrique, ni antisymétrique !
Alors le "C'est bien ça" ne peut mériter que la réponse : NON!

Posté par
aliasaleare : Reduction d endomorphisme 13-12-18 à 01:00

J avoue je me suis un peu fourvoyer sur mon intuition désolé..
Je vous pris de m excuser mais je n ai pas encore l habitude. Neanmoins j aimerai comprendre. Mais pourquoi ne peut on pas representer phi dans des matrices de dimensions differentes? Et Pour la decomposer je pensais qu il fallait avoir les images des matrices de la base pour ensuite les exprimer a partir des matrices de cette bases ?

Posté par
luzakre : Reduction d endomorphisme 13-12-18 à 08:01

Citation :
Mais pourquoi ne peut on pas représenter phi dans des matrices de dimensions différentes?

Que veut dire représenter une application linéaire ?
..........................................
Oui il faut avoir les images par \phi des matrices d'une base et écrire ces images selon cette même base mais où l'as-tu fait ?

Posté par
aliasaleare : Reduction d endomorphisme 13-12-18 à 10:31

Trouver une matrice associee .  Justement comment trouver une base pour avoir phi dans une matrice 2×2

Posté par
luzakre : Reduction d endomorphisme 13-12-18 à 10:49

Une matrice associée cela se définit : quelle est ta définition ?


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