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Reduction d équation

Posté par davidisbak (invité) 10-02-05 à 15:32

Bonjour, dans le cadre d'une préparation a un concours pour entrer dans une école d'ingénieur je potasse des annales, seulement voila elles ne sont pas corrigées et je coince, j'en appelle donc a vos connaissances:
Voici le probleme en question:
"Fournir l'équation réduite puis discuter suivant les valeurs de m, paramètre réel non nul, de la nature des courbes représentées en axes rectangulaires par l'équation : y²=mx²+2(1-m)x+m-1"

Merci pour votre aide.

Posté par
isisstruissre : Reduction d équation 11-02-05 à 01:02

Avant de commencer on peut se faire une idée du problème en prenant 2 cas particuliers:
(1) m=0\;\Rightarrow\;y^2=2x-1 et il s'agit d'une parabole.
(2) m=1\;\Rightarrow\;y^2=x^2 et il s'agit de deux droites

On peut déjà imaginer que les autres cas donneront lieu à des ellipses, paraboles ou hyperboles...

Traitons le cas général.Comme je vois un terme en x² et un terme en x, j'essaye d'exprimer les deux avec (...)².
\array{rl$ y^2 & =mx^2+2(1-m)x+m-1\\ &=m(x^2+2\frac{1-m}{m}x)+m-1\\ &=m(x+\frac{1-m}{m})^2-(\frac{1-m}{m})^2+m-1\\ &=m(x+\frac{1-m}{m})^2+\frac{m-1}{m}}

L'équation réduite sera
\frac{y^2}{(m-1)/m}-\frac{(x-(1-m)/m)^2}{(m-1)/m^2}=1

Traitons séparément les cas:

m<0\;\Rightarrow\;\frac{m-1}{m}>0\text{ et }\frac{m-1}{m^2}<0
On est en présence d'une ellipse

0<m<1\;\Rightarrow\;\frac{m-1}{m}<0\text{ et }\frac{m-1}{m^2}<0
On est en présence d'une h'yperbole

m>1\;\Rightarrow\;\frac{m-1}{m}>0\text{ et }\frac{m-1}{m^2}>0
On est en présence d'une hyperbole

À toi de vérifier mes calculs car il se fait tard et je n'exclu pas des erreurs.

Isis


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