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reduction d'equation d'une conique

Posté par
mariess7 30-08-13 à 01:51

bonsoir,
3x²-y²+8xy+3=0
premiere partie c'est la rotation

j'ai calculé le delta (b²-AC) qui est égale à 19, on sait donc que c'est une hyperbole

puis je remplace dans l'equation le x par x'cos- y'sin
et le y par x'sin+y'cos
on developpe puis rassemble les x'y'
j'obtiens -8*(cos*sin)+8cos²-8sin²= -tg+1-tg² on cherche le delta.....
à partir de la je cherche que vaut le teta je trouve 31.38
mais à partir de ça je n'arrive pas à faire l'equation generale de l'hyperbole
sachant que x'²/???-y'²/???=1
je ne sais pas si j'ai été claire

Posté par
Cherchellre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 05:42

Voici comment je réduis l'équation d'une conique
3x^2-y^2+8xy+3=3(x-\frac{4y}{3})^2-y^2-\frac{16y^2}{3}+3
3x^2-y^2+8xy+3=3(x+\frac{4y}{3})^2-\frac{19y^2}{3}+3
d'où l'équation réduite :
3(x+\frac{4y}{3})^2-\frac{19y^2}{3}+3=0 soit
(x+\frac{4y}{3})^2-\frac{19y^2}{9}+1=0
-(x+\frac{4y}{3})^2+\frac{19y^2}{9}=1

X=x-\frac{4}{3}y
Y=y

l'équation réduite est donc -X^2+\frac{19}{9}Y^2=1 on retrouve bien une hyperbole

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 13:17

bonjour

je ne vois pas d'ou vient le 3(x-4y/3)........
et quand vous avez remplacé le X et Y dans l'equation

Posté par
cailloux Correcteurre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 13:48

Bonjour,

>> Cherchell

Ta méthode de réduction des coniques est, comment dire, olé olé...

Tu n' obtiens pas l' équation d' une conique similaire à celle de départ et pour cause:

Citation :
X=x-\frac{4}{3}y
Y=y


n' est pas l' écriture d' une rotation!

Bref, ce n' est pas une réduction et la conique obtenue n' a rien à voir (excentricité, distance focale) avec celle de départ.



Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 13:52

bonjour cailloux,
donc c'est faux ?
est ce que mon debut est bon?

Posté par
cailloux Correcteurre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 14:19

Oui, c' est faux.

Ta méthode est bonne, mais tu dois faire des erreurs de calcul.

L' angle \theta est tel que \tan 2\theta=2

Au final, tu dois obtenir:

(2\sqrt{5}+1)X^2-(2\sqrt{5}-1)Y^2+3=0

reduction d\'equation d\'une conique

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 14:59

mon probleme c'est que je ne sais pas à partir du teta trouver l'equation de l'hyperbole comme vous avez trouvé
je vais recopié ce que j'ai fait
3x²-y²+8xy+3=3
=B²-AC
donc 4²+3= 19 qui est donc une hyperbole
je remplace dans l'equation le x par x'cos- y'sin
et le y par x'sin+y'cos
3(x'²cos²+y'²sin²-2*x'cos*y'in)-(x'²sin²+y'²cos²+2*x'sin*y'cos)+8*(x'²cos*sin-x'y'sin²+x'y'cos²-y'²sin*cos)
pour que le coefficient du terme x'y' soit nul, il faut que
8cos²-8sin²-6cossin-2sincos=0
cos²-sin²-8cossin=0
on divise par cos²
1-tg²-tg=0
1²-4*1*(-1)=5

1+5/(-2)=-1.61
1-5/(-2)=0.61===>=tg-1=31.38

peut-être une faute dans mon raisonnement?,
mais à partir de là comment puis-je trouver la formule final que vous avez trouvé?

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:10

sachant que la formule finale doit etre
x²/...-y²/...=1

Posté par
Priamre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:44

L'équation en tg que tu trouves est bien équivalente à  tg2 = 2 , comme indiqué par cailloux.

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:51

comment vous la trouvez priam?

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:54

je trouve 1.94

Posté par
Priamre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:55

1 - tg² - tg = 0
1 - tg/(1 - tg²) = 0
1 - (tg2)2 = 0
tg2 = 2 .

Posté par
Priamre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 15:57

Correction :  1 - (tg2)/2 = 0 .

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 16:10

je ne vois pas comment vous changez de 1-tg²-tg
à 1-tg/1-(tg²)
aprés avoir ca qu'est ce que je fais pour pouvoir avoir l'equation finale?

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 16:14

mon est faux alors? fin ce ci

cos²-sin²-cossin=0
on divise par cos²
1-tg²-tg=0
1²-4*1*(-1)=5

1+5/(-2)=-1.61
1-5/(-2)=0.61===>=tg-1=31.38
?

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 16:15

j'ai oublié de mettre les teta à coté des cos,sin et tg

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 16:21

vous utilisez la formule de duplication?

Posté par
Priamre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 17:16

A 15h55, j'ai tout divisé par  (1 - tg²).
Ensuite, j'ai utilisé la formule  donnant  tg a  en fonction de  tg(a/2).
Les lignes trigonométriques de l'angle dont la tangente vaut  2  peuvent être calculées géométriquement.

Posté par
cailloux Correcteurre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 19:02

Tu tombes après ton équation du second degré en \tan \theta:

-\tan^2\theta-\tan\theta+1=0

sur \tan\theta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}

On en déduit:

\cos^2\theta=\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\dfrac{1}{1+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}

puis \sin^2\theta=\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}

On remplace x par X\,\cos\theta-Y\,\sin\theta et y parX\,\sin\theta+Y\,\cos\theta dans:

3x^2-y^2+8xy+3=0

On obtient (inutile de calculer le coefficient de XY qui est nul!):

(3\cos^2\theta-\sin^2\theta+8\,\sin\theta\,\cos\theta)X^2+(3\sin^2\theta-\cos^2\theta-8\,\sin\theta\,\cos\theta)Y^2+3=0

Reste à remplacer \cos\theta et \sin\theta par les valeurs obtenues au dessus, ce qui donne:

(2\sqrt{5}+1)X^2-(2\sqrt{5}-1)Y^2+3=0

Ou si tu préfères:

\dfrac{X^2}{\left(\sqrt{\dfrac{3(2\sqrt{5}-1)}{19}}\right)^2}-\dfrac{Y^2}{\left(\sqrt{\dfrac{3(2\sqrt{5}+1)}{19}}\right)^2}=-1

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 19:37

je vais essayer de le refaire j'espere tomber sur la meme reponse... merci :d

Posté par
carpediemre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 19:39

salut

cailloux à 13h48 :: pas d'accord

Chercell a réduit la conique rapportée à ses asymptotes .... donc "elle n'est plus vu dans un repère orthonormal" ....

ce me semble-t-il .....

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 21:12

bonsoir cailloux,
pour l equation finale c'est 1 normalement???
car equation d'une hyperbole x²/a²-y²/b²=&

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 21:29

probleme je trouve (1+25)X²-( 2-5)/5) Y²+3=0
j'ai calculé plusieurs fois mais tjrs meme reponse

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 21:44

non ca va j'ai trouvé faute de signe comme d'abitude :/

merciii beaucoup de votre aide cailloux

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 21:49

mais le moins 1 me gene 1 peu :s

Posté par
cailloux Correcteurre : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 21:51

Citation :
Chercell a réduit la conique rapportée à ses asymptotes .... donc "elle n'est plus vue dans un repère orthonormal" ....


Mais quel intérêt?

Le but de ce type de manoeuvre est tout de même de déterminer les caractéristiques géométriques (excentricité, distance focale etc...) de la conique.

Tout ce qu' on peut dire, c' est que cette conique est une hyperbole mais on a perdu toutes ses caractéristiques géométriques en cours de route.

Et ce n' est certainement pas ce qu' on demande à mariess7 (cf son premier message).

Citation :
pour l equation finale c'est 1 normalement???


Entre 1 et -1, on échange les rôles de X et Y

Citation :
j'ai calculé plusieurs fois mais tjrs meme reponse


Une erreur peut-être?

Posté par
mariess7re : reduction d'equation d'une conique 30-08-13 à 22:00

j'ai compris pour le 1 :d
merci encore


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