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Reduction des endomorphismes
Bonjour,
J'ai quelques questions concernant un problème d'algèbre dont voici l'énoncé :
Soit {
} la base canonique de E =
,
et soit u de matrice dans la base
A =
1,i) Trouver le polynôme caractéristique p(x) de u
1,ii) Vérifier que et
sont deux valeurs propres de u.
On voit facilement que et
annule
2,i) Trouver une base de chaque sous-espace propre de u
et
Une base de est
Une base de est
Déjà, je ne sais pas si j'écris correctement les bases des sous-espaces propres
2,ii) En déduire que u est diagonalisable et donner une matrice inversible telle que
soit diagonale.
u est diagonalisable car et P est constitué des vecteurs propres de
2,iii) Déduire de ce qui précède que , si est la matrice identité 4 x 4, alors la matrice
est nulle.
Je ne vois pas comment justifier que est nul
Quelqu'un?
2,iv) Déduire de (2,iii) l'inverse de A
donc
donc
Merci
salut
il faudrait peut-être factoriser complètement p(x) (donc le troisième facteur (pour justifier qu'il n'y a pas d'autres valeur propres que 2 et 4 ...
(entre autres méthodes) si tu notes (u, v, w, t) la base formée par les quatre vecteurs propres et en prenant x = au + bv + cw + dt alors calculer (A - 2I)(A - 4I)x ... et montrer que tu obtiens le vecteur nul 0
autre méthode : D = P-1AP donc A = ... et remplacer dans (A - 2I)(A - 4I) en remarquant que I = PP-1
Merci Aitouglif,
donc d'après le théorème de Caylay-Hamilton, p(A) = 0
carpediem,
J'ai factorisé complètement , ce qui donne
On voit qu'il n'y a pas d'autre valeur propre.
J'ai utilisé ta deuxième méthode pour justifier
donc
Ensuite on remplace dans (A - 2I)(A - 4I)
ce qui donne en multipliant par :
(On calcule facilement car D est diagonale)
Je n'arrive pas à tout faire dans la partie 3 de l'exercice :
3,i) Trouver une base de l'orthogonale de
3,ii) Trouver une base de
3,iii) Déduire de 3,ii qu'il n'existe pas de base orthonormée diagonalisant u.
Comme différent de
,
et
ne sont pas orthogonaux donc on ne peux pas trouver de base orthonormée diagonalisant u
3,iv) Soit . Justifier que
donc
3,v) Prouver que , puis que
, pour tout
est une isométrie.
F est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs propres de u donc
Pour prouver que c'est une isométrie, je ne sais pas faire du tout.
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
Pour le 3.iv il te manque un argument pour dire que la somme est directe.
Pour le 3.v tu peux écrire tout élément de sous la forme
avec
et
(et ceci de manière unique).
Calcule alors .
Bonjour,
Pour le 3,iv)
Il faut dire que
Pour 3,v)
(car somme directe)
(Somme directe)
donc v(x) est une isométrie
Revois tes justifications, elles ne vont pas.
Il faut expliquer pourquoi on a somme directe dans le 3.iv : l'argument n'y est pas !
L'invocation de la somme directe n'a rien à faire la première fois dans le 3.v et est insuffisante la deuxième fois : il faut justifier sérieusement le .
Pour 3.iv, l'argument d'orthogonalité manquait : est contenu dans l'orthogonal de
.
Et pour 3.v, il manque encore un argument : ce ne sont pas toutes les symétries qui préservent la norme euclidienne, mais uniquement les symétries .... (à compléter).
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