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Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé

Posté par
Serbiwni 04-09-21 à 01:05

Bonsoir, je suis débutant en probabilité avancée et je voudrais mieux comprendre les espaces probabilisés. Je m'intéresse à l'exercice suivant : on lance un dé trois fois, donner l'espace probabilisé (\Omega, F, \mathbb P) qui décrit toutes les possibilités de cette expérience aléatoire. Maintenant, supposons que l'on ne veuille pas tout savoir dans la vie : trouver la plus petite \sigma−algèbre G telle que les événements de cette \sigma−algèbre peuvent distinguer entre les résultats du premier lancer (uniquement je crois vu le sens de la question).

Pour toutes les possibilités, j'ai pris \Omega:=\{(a,b,c) \in \mathbb N^3 \lvert a,b,c \in \{1,\cdots,6\}\} par exemple (1,3,6) \in \Omega; et la \sigma−algèbre F:=P(\Omega).
Pour la seconde question qui est posée, j'ai du mal à voir quelle \sigma−algèbre je dois prendre pour n'avoir que les informations relatives au premier lancer seulement. Dans ma vision des choses, les éléments de \Omega sont des triplets donc ils donnent nécessairement des informations "triples" (1er, 2e et 3e lancer). Je pense qu'une visualisation concrète de ce qui se passe dans ce cas me permettrait de mieux comprendre ce qui me pose problème dans cette approche de la probabilité différente de celle du lycée.  

(On m'a dit de prendre la \sigma−algèbre \{k\}\times\{1,\ldots,6\}^2 avec 1\leq k \leq 6 mais elle contiendrait par exemple (1,2,2) et (1,2,3), ce que l'on ne souhaite pas non ? De plus j'ai l'impression que l'union de ces triplets finirait par donner P(\Omega) donc au final c'est la même algèbre que celle du début)

Posté par
Serbiwnire : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 01:21

Je pense avoir compris l'erreur que je fais dans mon dernier paragraphe, la sigma algèbre contenant des ensembles de triplets et non pas des triplets (en singletons). J'aimerais quand même avoir vos avis sur ma question, cela pourrait m'être utile pour la suite de mes études.

Posté par
WilliamM007re : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 02:04

Bonsoir.

Alors la sigma-algèbre en question serait plutôt cette générée par \{\{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2\mid 1\le k\le 6\}. Ses éléments sont donc par exemple \{1\}\times\{1,\cdots,6\}^2, \{2\}\times\{1,\cdots,6\}^2, ..., \{6\}\times\{1,\cdots,6\}^2, ou encore par exemple \{1,2,3\}\times\{1,\cdots,6\}^2 ou \{5,6\}\times\{1,\cdots,6\}^2. Les triplet (1,2,2) et (1,2,3) n'en font donc pas partie, d'ailleurs ça n'a pas vraiment de sens de ce poser cette question. Il faudrait plutôt se demander si les singletons {(1,2,2)} et {(1,2,3)} font partie de cette sigma-algèbre, et la réponse du coup est non.

Pour comprendre pourquoi c'est cette sigma-algèbre, revenons un peu à la base. Par souci de simplicité je vais supposer qu'on ne s'intéresse qu'au lancer d'un seul dé, soit \Omega=\{1,\cdots,6\}. La tribu \mathcal F est la description de l'ensemble des événements observables dans notre expérience. Supposons par exemple que quelqu'un a colorié toutes les faces paires en rouge, et les faces impaires en bleu, de sorte que je ne vois pas le résultat du lancer mais seulement la couleur. Je ne suis donc pas capable de distinguer 2, 4 et 6, et je ne peux pas non plus distinguer 1, 3 et 5. Il y a donc deux événements possibles : {2, 4, 6} et {1,3,5}, auxquels on rajoute les événements triviaux \empty (le dé n'a aucun résultat) et l'événement \Omega (le dé a un résultat quelconque). La sigma-algèbre qui correspond à cette situation est donc \{\emptyset,\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}.

Pour revenir à ta situation, on a 3 lancers, soit \Omega=\{1,\cdots,6\}^3. Soit \mathcal G une \sigma-algèbre qui permette de distinguer les résultats du premier lancer. Soit k compris entre 1 et 6. Soit \mathcal G_k l'ensemble des événéments de \mathcal G de la forme \{k\}\times A\times B, où A,B\subset\{1,\cdots,6\}. On a alors

\{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2 \\ =\left(\{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2\right)\cap\Omega \\ =\left(\{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2\right)\cap\bigcup_{X\in\mathcal G}X \\ =\bigcup_{X\in\mathcal G}\left(\left(\{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2\right)\cap X\right) \\ =\bigcup_{X\in\mathcal G_k}X

On en déduit que \{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2\in\mathcal G. Donc \mathcal H\subset\mathcal G, où \mathcal H est la \sigma-algèbre engendrée par les événements \{k\}\times\{1,\cdots,6\}^2. On montre facilement que

\mathcal H=\{A\times\{1,\cdots,6\}^2\mid A\in\mathcal P(\{1,\cdots,6\})\}.

De plus, \mathcal H est clairement une \sigma-algèbre qui distingue les résultats du premier lancer. C'est donc la plus petite.

Posté par
WilliamM007re : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 02:11

Tiens ?

Posté par
malou Webmasterre : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 08:14

Bonjour,

pas fort agréable...

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
Serbiwnire : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 11:54

Bonjour et merci William pour ta réponse c'est beaucoup plus clair.
J'ai posté sur mathstack car il était tard alors que les gens dorment en France mais les réponses allaient droit vers la réponse et ne m'aidaient pas énormément. Je n'étais pas au courant du fait que le multi post était interdit, maintenant si et pardon

Posté par
Serbiwnire : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 11:57

Je voulais juste aussi savoir pourquoi tu écris H=\{A \times \{ 1,\cdots,6 \}^2 \lvert A \in P(\{1,\cdots,6\})\} au lieu de H=\{A \times \{ 1,\cdots,6 \}^2 \lvert A \in \{1,\cdots,6\}\} ?

Posté par
WilliamM007re : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 11:58

Serbiwni @ 04-09-2021 à 11:57

Je voulais juste aussi savoir pourquoi tu écris H=\{A \times \{ 1,\cdots,6 \}^2 \lvert A \in P(\{1,\cdots,6\})\} au lieu de H=\{A \times \{ 1,\cdots,6 \}^2 \lvert A \in \{1,\cdots,6\}\} ?

Tu peux me donner un exemple d'élément appartenant à ce deuxième H ?

Posté par
carpediemre : Réduire la sigma-algèbre d'un espace probabilisé 04-09-21 à 12:25

salut

on peut visualiser cea avec un arbre à trois niveaux :

lancer                n° 1       n° 2      n° 3

qui te donne les triplets (a, b, c) et les triplets (1, 2, 3) et (1, 3, 2) sont distincts

maintenant si tu ne t'occupes que du premier lancer tu effaces les deux derniers niveaux et alors les triplets (1, 2, 3) et (1, 3, 2) ne sont plus distinguables ...


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