réels qui permutent

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réels qui permutent
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alb12  01-01-23 à 14:43
Salut, 

Meilleurs voeux. 

 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 15:30
Bonjour,

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Une réponse qui ne rentre pas dans les détails : 
 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  01-01-23 à 18:25
@lake

 Cliquez pour afficher

en effet 2022 et 2023 permutent mais aussi 2022/2 et 2023/2

 Posté par 
GBZMre : réels qui permutent  01-01-23 à 18:52
Bonsoir,

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Deux réels  et  permutent si et seulement si .
 Posté par 
Ulmierere : réels qui permutent  01-01-23 à 18:59
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Si u = f(v) et v = f(u) alors u = f(v) = f(f(u))) et v = f(u) = f(f(v)). Donc u et v sont dans le domaine de définition de f ∘ f, s'il est non vide, et en sont des points fixes.

Réciproquement, si u = f(f(u)) alors v := f(u) = f(f(  f(u) )) est également un point fixe de f ∘ f et f(v) = f(f(u)) = u.

Il s'agit donc de se restreindre au domaine de définition de f ∘ f et d'en trouver les points fixes toutes les possibilités.

---

Si on essaie de résoudre u = f(f(u)), en posant x = u-a et d = a+b, on est ramené à trouver les racines (au max 4) de 

Les valeurs possibles pour u sont donc  et , en fonction de la valeur de d. Au miminimum, on doit avoir  pour espérer trouver un u.

Ensuite, on ne doit garder que les u tels que u + b >= 0 (ce qui se réécrit uniquement en fonction de d grâce au "a+" qui traine devant les fractions).

Et parmi ceux-là, on ne garde que ceux tels que v = f(u) soit lui-même >= -b

 Posté par 
GBZMre : réels qui permutent  01-01-23 à 19:39
Hum, Ulmière ...

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Si  et , alors  et .  Par soustraction, il vient . Donc  ou .

Partons maintenant de deux réels  quelconques et posons . Alors . Notons  cette valeur commune ; il vient  et , en particulier  et  sont tous deux positifs ou nuls. On a  et  si et seulement si , c.-à-d. si et seulement si .

 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 20:05
Il semblerait que je me sois planté : rien d'étonnant 
 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  01-01-23 à 20:25
GBZM @ 01-01-2023 à 19:39

Hum, Ulmière ...

Je dirais même plus, Hum, Hum...

Un petit bonjour ne peut pas nuire 
 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 20:35
Je dirais même plus, Hum, hum, hum  . . .

Est-il normal de poster ici systématiquement des images ?
 Posté par 
malou re : réels qui permutent  01-01-23 à 20:53
Bonsoir à tous

Je ne vois pas d'image lake

 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 21:06
Bonsoir malou 

Il me semble bien en voir une ici (je viens de la sauvegarder pour la resservir)  :

 Posté par 
malou re : réels qui permutent  01-01-23 à 21:28
Non non...c'est du Ltx 

Bon même si je préfère que le texte ne soit pas en Ltx pour les moteurs de recherche

Bonne soirée

😀
 Posté par 
malou re : réels qui permutent  01-01-23 à 21:29
Tu n'as pas accès au code source ?
 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 21:37
Ah si : je viens de regarder le code source.

Et j'ai tort . . . je me suis fait avoir : j'y ai vu une image.

C'est tout de même étonnant : pourquoi ce format un peu spécial ?

Désolé 
 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 21:46
Pfiouuu ! Ça fait un moment que je mijotais avec les messages d'alb12 : 

Comment se fait-il qu'il passe à travers les fourches caudines de la « « modération » ?

Et j'étais à l'ouest 
 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  01-01-23 à 21:58
extrait du code source de cette page web: 

<br />Meilleurs voeux. 
<br />
<br /><img src="https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?
 \\ $Soit $f(x)=a-\sqrt{x+b}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. $
 \\ $On dit que deux réels distincts $u$ et $v$ permutent s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $f(u)=v$ et $f(v)=u. 
 \\ $A quelle condition deux réels $u$ et $v$ permutent-ils ? $
 \\ " alt="
 \\ $Soit $f(x)=a-\sqrt{x+b}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. $
 \\ $On dit que deux réels distincts $u$ et $v$ permutent s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $f(u)=v$ et $f(v)=u. 
 \\ $A quelle condition deux réels $u$ et $v$ permutent-ils ? $

ce qui me fait dire que les robots de google n'ont aucune peine à lire mon """image""". 
 Posté par 
lakere : réels qui permutent  01-01-23 à 22:02
>>alb12 :

J'avais bien sûr tort et malou m'a convaincu.

A juste titre, tu peux insister . . .
 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  01-01-23 à 22:21
 Cliquez pour afficher

J'avais en tete une resolution de systeme d'inconnues a et b (niveau Premiere)

lequel est équivalent au systeme

ensuite ce n'est que du calcul. 

 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  01-01-23 à 22:26
Apprendre à tout âge est signe de jouvence 
 Posté par 
alb12re : réels qui permutent  02-01-23 à 08:57
pour info 
 Posté par 
Ulmierere : réels qui permutent  02-01-23 à 11:46
GBZM

 Cliquez pour afficher

Si je ne m'abuse, tu construis a et b tels que x et y permutent pour ces a et b, alors qu'on cherche à a et b fixés, toutes les paires (x,y) de réels qui permutent.

D'ailleurs, si on se fie à ton résultat, on a 1 = a - sqrt(b) et 0 = a - sqrt(1+b) donc 2a - 1 = a²-(a-1)² = 1+b-b = 1 donc a = 1 et b = 0
 Posté par 
Ulmierere : réels qui permutent  02-01-23 à 11:48
Enfin, quand je dis "on", je voulais dire "je" 

La bonne interprétation de l'énoncé est évidemment la tienne
 Posté par 
GBZMre : réels qui permutent  02-01-23 à 12:23
Oui, il faut savoir lire les énoncés même quand il y a un quantificateur existentiel dedans ! 
  Posté par 
lakere : réels qui permutent  02-01-23 à 15:56
On peut modifier l'énoncé en posant la question :

Citation :
A quelle condition les entiers naturels  et  permutent-ils ?

Non, non, je n'essaie pas de sauver mes misérables meubles