dans la 2eme definition si H est le projete de M sur (AB) et \ves {AB}sont de sens contraires donc H est dans le demiplan de la 1ere definition  en fait ces trois definitions me paraissent equivalentes on utilise plutot la 1ere  ou 2eme que la 3eme

En fait dans ma leçon, j'ai en definition : P(A) le demi plan ouvert de frontière contenantvA

en théoreme la première propriété que j'ai citée et en démo un truc qui ressemble à la deuxième...

et tu fais aussi ax+by+c du signe de axA+byA+c où ax+by+c=0 est l'equation de (Delta)?

car ça on le fait un peu au lycee

je n'ai pas le droit d'utiliser les équations dans cette leçon là...

les vecteurs le projeté orthogonal peut servir aussi... mais c'est vraiment la définition qui me bloque car je ne sais pas ce que je dois démontrer exactement

Bonsoir.

Dans ma leçon 38 de l'oral 1, je mets la caractérisation d'un demi-plan par une inéquation. Puis j'ai un théorème-définition qui dit qu'il existe une réflexion et une seule échangeant 2 points A et B distincts de P, cette réflexion a pour axe la droite passant par le milieu de [AB] et orthogonale à [AB], elle est appelée médiatrice de [AB].
Puis j'ai un 2ème théorème :
Soient A et B des points distincts de P, D la médiatrice de [AB], P_A le demi-plan ouvert de frontière D contenant A, et P_B celui contenant B. On a :
Pour tout MP, MD MA=MB
                         MP_AMA<MB
                         MP_BMA>MB

bonsoir, on parle bien de la même leçon

mais j'ai pas trop saisi  "je mets la caractérisation d'un demi-plan par une inéquation"

quelle est la definition exacte de :"P_A le demi-plan ouvert de frontière D contenant A" ?

Oups, j'ai oublié 2 mots, il fallait lire : "je mets la caractérisation d'un demi-plan par une inéquation en pré-requis". Désolé

ok, dans ce cas comment tu fais la démo (le principe juste) pour montrer que MA<MB => M appartient à P_A ?

Je rapporte le plan au RON (I, i,j), où I est le milieu de [AB], et où i dirige  IA (le vecteur). Soit a>0 l'abscisse de A (donc -a est l'abscisse de B). On a :
Pour tout M(x,y)P, MA<MBMA²<MB²
                                           (a-x)²+y²<(-a-x)²+y²    
                                           4ax>0
                                           x>0 car a>0
                                       MP_A

Voilou

ok, merci bien pour cette démonstration détaillée, je vais voir ce qu'il faut que je modifie... je pensais qu'il n'y avait pas besoin des équations mais bon ceci marche aussi.

bonnes révisions alors

et MA²<MB² SSI
SSi
SSi

Bonjour
je verrais bien la dernière proposition du premier post comme définition : c'est la plus intuitive
le demi plan délimité par une droite D et qui contient A, c'est l'ensemble de tous les points qui sont "du même côté" de D que A, autrement dit qui sont tels que pour aller de A à eux, on n'a pas à traverser D, donc [AM] inter D est vide .

Bonjour,

si j'utilise cette définition, si je prends un point M, n'importe où, il faut que j'arrive à prouver que

coupe au moins un des 2 segments [AM] ou [BM] dans le triangle ABM

(comment le justifer, dire qu'une droite passant par l'intérieur d'un triangle coupe au moins 2 segments ?)

ensuite si je note P   [MA]  (si on est dans ce cas là)
et H le projeté de M sur (AB)

alors H appartient à ]IB)

d'où

Que vient faire B ici ? tu pars du demi plan de frontière D qui contient A .... pas besoin de B
Pour un point M donné, deux cas de figure : [AM] coupe D OU [AM] ne coupe pas D.

après, pour faire le lien avec les autres caractérisations, tu seras amené à introduire B = symétrique de A par rapport à D.

en fait j'essayais de faire la démonstration  de:

M appartient à P_A => MA<MB

(AM) coupe D revient à AM > AB/2 : considère le cercle de centre A et de rayon AB/2, tangent à D
inégalité du triangle : AM + BM > ou égal à AB
du coup si AM < AB/2 alors BM >= AB/2

j'aime bien cette solution !

(juste un petit truc, comment justifier que si ne coupe pas [MB] alors elle coupe [MA] et inversement ?)

Il me reste plus que la réciproque, est-ce possible de rester dans le même esprit ? genre MA>MB donc M n'est pas sur la droite donc coupe [MA] ou [MB]...

merci

ce que j'ai fait à 11:28 montre que si D ne coupe pas [AM], AM < d(A,D) = AB/2, donc à cause de l'inégalité du triangle, BM > AB/2, donc en regardant le cercle de centre B tangent à D, D coupe [BM]

la condition BM > AB/2 ne suffit pas non ? M pourrait se trouver entre le cercle et la droite ?

Attends ! je me suis rendue compte que je t'avais dit n'importe quoi !
j'ai implicitement fait comme si M était "entre A et la droite"

il peut bien sûr être dans le demi plan délimité par D contenant A avec AM > AB/2, s'il est "de l'autre côté de A par rapport à D"

et ce n'est pas le seul cas possible ....