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Niveau seconde
règles de divisibilité par 7; 13;11...
Posté par myo34 (invité)
Bonjour à tous !
Comment savoir si un nombre est divisible par 7, par 13 ou par 11 ?
Je sais qu'il existe une règle comme pour divisible par 2 ...mais je ne m'en rappelle plus.
Si quelqu'un les connait, merci de me les donner.
*** message déplacé ***
Bonjour myo34 !
Un nombre est divisible par 2 si et seulement s'il est pair (c-à-d s´il termine par 0,2,4,6 ou 8).
Par exemple, 123564555456587898754528 est divisible par 2.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Par exemple 2383974576 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 54 et que la somme des chiffres de 54 est 9 (qui est clairement un multiple de 3).
Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Par exemple 3824001266979613316 est divisible par 4.
Un nombre est divisible par 5 si il termine par 0 ou 5.
Par exemple 2122258989870880 est divisible par 5 car 80 est divisible par 5.
Un nombre est divisible par 6 si il est divisible par 2 ET par 3.
Par exemple 876874587995498020680126 est divisible par 6 car il est pair et que la somme de ses chiffres est 129 (divisible par 3).
Un nombre est divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
Par exemple 5658701200457256 est divisible par 8.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Par exemple 58120344 est divisible par 9 puisque la somme de ses chiffres est 27 (qui est clairement un multiple de 9).
Pour la divisibilité par 7, la méthode est un peu plus compliquée.
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 7, il faut procéder de la manière suivante:
On découpe le nombre N entre l´avant-dernier chiffre et le dernier. On soustrait alors 2 fois le chiffres de droite du nombre de gauche. On obtient ainsi un nouveau nombre. Si le nombre N était un multiple de 7, le nouveau nombre que l´on a obtenu est encore un multiple de 7.
On répète cette opération jusqu´à ce que l´on obtienne un nombre pour lequel on voit immédiatement qu´il est multiple de 7.
Par exemple, si N=31759
On découpe: 3175 9
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 3175-2*9 = 3175-18 = 3157
On découpe: 315 7
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 315-2*7 = 315-14 = 301
On découpe: 30 1
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 30-2*1 = 28
Et 28 = 7*4. Donc 31759 est bien un multiple de 7.
Pour savoir si un nombre N est divisible par 11, on fait le calcul suivant:
On prend le premier chiffre de N, on soustrait le deuxième chiffre de N, on ajoute le troisième chiffre de N, on soustrait le quatrième chiffre de N, et ainsi de suite pour tout le nombre. Si le nombre ainsi obtenu est un multiple de 11 (qui peut être négatif), alors est également un multiple de 11.
Par exemple, si N=18273904
On calcule 1-8+2-7+3-9+0-4 = -22
Donc N est un multiple de 11.
Bonjour tous le monde, moi aussi je me poser la question sur les règles de divisibilité(par 11), j'ai étais sur beaucoup de site mais c'étais toujours la même chose, je ne comprenais pas alors tous simplement si tu ne comprend pas prend une calculette et divise ton nombre par le diviseur qui te pose probleme!
Bisous 
Coucou à tous,
Concernant la division par 7, j ai un petit probleme;
exemple:
108 est il divisible par 7?
10-8*2=-6 ... comment je fais? ceci fonctione t il avec les nombre negatifs?
Merci
Bonjour,
Peut être en lisant les réponses dans leur intégralité. En particulier celle du 19/11/2007 à 20h22 parfaitement détaillée avec un exemple
Bonne lecture.
Bonjour,
le problème des critères de divisibilité par 7 et par 13 (qui sont très semblables d'ailleurs car 7 = 10-3 et 13 = 10+3)
est que personne ne les utilise en pratique vu qu'ils sont de complexité à peu près équivalente à effectuer réellement la division ...
Bonsoir,
je voudrai savoir si pour la divisibilité par 7, on pourrait séparer le nombre comme le post en haut et d'y soustraire deux fois le nombre des unités par nombre de rangs de la partie de gauche.
Le post d'en haut fait les soustractions et resépare le nombre à chaque fois alors je me demande si on pourrait soustraire directement le nombre de rangs multiplié par le double du chiffre des unités comme mon DM me le fait penser.
Salut,Je ne comprends pas ce que tu dis : Propose un exemple !
Cela dit, pour savoir si ça marche, tu peux déjà essayer sur des nombres dont tu connais la réponse...
Par exemple pour 2049651387 (un nombre que j'ai trouvé au hasard à 10 chiffres qui sont tous différents comme mon DM le dit). En le séparant comme en haut, ça donne 204965138 et 7.
204965138 - 9x2x7 = 29280716.
Je ne suis pas très convaincu mais mon DM demande de vérifier que 7 divise n (le nombre à 10 chiffres) si et seulement si 7 divise la somme de la valeur d'un chiffre d'un rang multiplié par 10 exposant rang-1 à qui on soustrait le double du chiffre des unités pour k (valeur du rang) = 1 variant jusqu'à p (valeur maximale du rang qui est 10).
J'ai retranscris le sigma de l'énoncé.
Je viens de me rendre compte que 29280716 n'est pas divisible par 7...
Y aurait-il un moyen d'écrire un sigma pour que ça soit plus simple à visualiser ?
de toute c'est un critère classique de divisibilité par 7 ... qu'on peut réitérer par récurrence ... avec le nombre dont on retirer le chiffre des unités et en appliquant la même règle ...
L'énoncé est :
"Soit n un entier naturel dont l'écriture décimale (en base 10) est xp...x1x0 (Il y a une longue barre au-dessus de xp jusqu'à x0).
La question complète est : p
"Montrer que 7 divise n 
7 divise 
(x010k-1) - 2x0.
k=1
(Indication : On pourra utiliser le théorème de Gauss)"
Je me suis dit que je pouvais y arriver sans le théorème de Gauss alors j'essaie de faire comme la question précédente sur la divisibilité par 11 : J'explique les critères de divisibilités et j'explique ce que la somme exprimé par sigma fait pour en conclure que ça correspond.
J'ai peut-être aussi mal compris l'énoncé ou la question.
on veut donc démontrer que : 7 divise n <=> 7 divise p - 2u
il suffit donc de calculer convenablement n - (p - 2u) ... et montrer que c'est multiple de 7
...
Donc après le sigma de mon post, le "- 2x0" n'est pas inclus dans le sigma ?
Merci Carpediem pour ta réponse mais pour mon cas, je ne vois pas comment on peut passer de ta troisième écriture de n jusqu'au nombre avec le sigma de mon énoncé (et même de ta deuxième écriture de n à un nombre de dizaine moins deux fois le chiffre des unités).
carpediem @ 12-09-2019 à 18:54
on veut donc démontrer que : 7 divise n <=> 7 divise p - 2u
il suffit donc de calculer convenablement n - (p - 2u) ... et montrer que c'est multiple de 7
...
on veut donc démontrer que : 7 divise n <=> 7 divise p - 2u
il suffit donc de calculer convenablement n - (p - 2u) ... et montrer que c'est multiple de 7
...
Mais pour dire qu'il suffira de calculer n - (p - 2u) et montrer que c'est un multiple de 7, il faut bien que je montre d'où vient le "- 2u" à partir de n, non ?
C'est le "- 2u" qui me dérange, je ne sais pas d'où il vient.
ben c'est trivialement le chiffre des unités de n ...
donc si tu connais n ben tu connais son chiffre des unités ...
ici il suffit donc de montrer que :
si alors
est multiple de 7
et le -2u ben il vient du mec qui à trouver cette règle ...
et qui l'a prouvé et que avec -3u par exemple ben ça ne marche plus !!!
Je n'ai pas encore trop compris ton post mais je reviendrai le voir quand je connaîtrai les propriétés de sigma... (je suis en terminale)
Mais bon, je pense que j'ai compris le « - 2u » :
Si le chiffre des unités est 0 : 2x0 = 0 à qui on rajoute 0 à la fin (cela donne 00) et un multiple de 7 - 00 est toujours un multiple de 7.
Si le chiffre des unités est 1 : 2x1 = 2 à qui on rajoute 1 à la fin (cela donne 21) et un multiple de 7 - 21 est toujours un multiple de 7.
Et c'est pareil pour tout les chiffres.
2 : 42
3 : 63
4 : 84
5 : 105
6 : 126
7 : 147
8 : 168
9 : 189
On soustrait donc pour n'importe quel nombre un multiple de 7.
non
prenons n = 156 par exemple
15 - 2 * 6 = 3
3 n'est pas multiple de 7 donc 156 ne l'est pas ...
prenons n = 154
15 - 2 * 4 = 7
7 est multiple de 7 donc 154 est multiple de 7
On fait la même chose, c'est juste que tu supprimes les chiffres des unités :
Pour 156, 6x2 = 12 À qui on rajoute 6 à la fin : 126
156 - 126 = 30 donc 156 n'est pas divisible par 7.
Pour 154, 4x2 = 8 À qui on rajoute 4 à la fin : 84
154 - 84 = 70 donc 154 est divisible par 7 (car 70 l'est).
le but est de diminuer les chiffres de n (de façon algorithmique) ...
ça revient au même mais ce que tu fais n'est pas la règle que tu énonces et consommeras beaucoup plus de mémoire ...ce me semble-t-il ...
C'est vrai, mais je n'ai pas besoin de le faire en algorithme alors ça consommera juste plus d'encre.
Merci !
Si je démontre en disant que cette manipulation revient au même qu'avec le sigma, ça devrait aller, non ?
Sur un DM dont on n'a même pas encore fait le cours dessus, on fait avec ce qu'on peut.
Arrêter de vous compliquez la vie avec vos calculs mathématiques super compliqués, pour savoir si un nombre est divisible par 7, il existe une technique bien plus facile :
je vais prendre 1673 comme exemple,
Tout d'abord réécrivez le chiffre avec un + entre l'avant dernière et dernière lettre :
---> 167+3
Ensuite rajouter juste un x5 à la fin de votre calcule :
---> 167+3x5
Ensuite effectuer le petit calcule, en prenant en compte la priorité des opération, cela donne 167+15, ce qui donne 182.
Evidemment ce chiffre est encore trop élevée pour bien voir s'il est divisible par 7, donc il faut juste recommencer une seconde fois l'opération :
--->18+2
--->18+2x5, ce qui donne 28
28 qui est un chiffre divisible par 7 ( 7x4 ), donc le chiffre 1673 est aussi divisible par 7, cette technique est plus facile car elle est beaucoup plus simple et rapide a faire, et marche avec tout les chiffres, évidemment plus vous choisirez un gros chiffre, plus cela prendra du temps, car il y aura plus d'étapes à faire...
Bonjour,
c'est exactement aussi compliqué que ce qui a déja été dit :
chabalou70 @ 19-11-2007 à 20:22
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 7, il faut on peut procéder de la manière suivante :
On découpe le nombre N entre l'avant-dernier chiffre et le dernier. On soustrait alors 2 fois le chiffres de droite du nombre de gauche. On obtient ainsi un nouveau nombre. Si le nombre N était un multiple de 7, le nouveau nombre que l'on a obtenu est encore un multiple de 7.
On répète cette opération jusqu'à ce que l'on obtienne un nombre pour lequel on voit immédiatement qu'il est multiple de 7. (ou pas)
Par exemple, si N=31759
On découpe: 3175 9
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 3175-2*9 = 3175-18 = 3157
On découpe: 315 7
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 315-2*7 = 315-14 = 301
On découpe: 30 1
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 30-2*1 = 28
Et 28 = 7*4. Donc 31759 est bien un multiple de 7.
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 7, il faut on peut procéder de la manière suivante :
On découpe le nombre N entre l'avant-dernier chiffre et le dernier. On soustrait alors 2 fois le chiffres de droite du nombre de gauche. On obtient ainsi un nouveau nombre. Si le nombre N était un multiple de 7, le nouveau nombre que l'on a obtenu est encore un multiple de 7.
On répète cette opération jusqu'à ce que l'on obtienne un nombre pour lequel on voit immédiatement qu'il est multiple de 7. (ou pas)
Par exemple, si N=31759
On découpe: 3175 9
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 3175-2*9 = 3175-18 = 3157
On découpe: 315 7
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 315-2*7 = 315-14 = 301
On découpe: 30 1
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 30-2*1 = 28
Et 28 = 7*4. Donc 31759 est bien un multiple de 7.
je ne vois pas la différence de complication entre
calculer 167+3x5 (ta méthode) et calculer 167-3x2 (la méthode de chabalou70 )
les calculs compliqués comme tu prétends sont pour PROUVER que ces méthodes fonctionnent
ici on fait des maths, pas de la cuisine avec des formules magiques dont on a entendu dire un jour qu'elles fonctionnent
on veut, on exige des preuves, pas des affirmations gratuites.