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relation binaire

Posté par
ACHLAF 28-09-16 à 16:11

Bonjour;
Pouvez vous me donner un exemple d'une relation binaire non reflexive mais symetrique et transitive .
MERCI!

Posté par
lionel52re : relation binaire 28-09-16 à 16:15

Relation sur  R :

xRy ssi "x=y=0"

Posté par
ACHLAFre : relation binaire 28-09-16 à 16:18

cette relation est reflexive ;moi je voudrais une qui n'est pas reflexive!

Posté par
lionel52re : relation binaire 28-09-16 à 16:25

Est-ce que dans ma relation on a 17 R 17 ?

Posté par
jsvdbre : relation binaire 28-09-16 à 16:44

Bonjour ACHLAF

Soient x et y deux lettres distinctes. La relation \blue R(x, y)~:=~\red x=y.
R est une relation d'équivalence, qui n'est réflexive dans aucun ensemble.

Sinon, il existerait un ensemble E tel que \blue R(x, x) \Leftrightarrow x \in E c'est-à-dire \blue (x=x) \Leftrightarrow (x \in E).
Or \blue (\forall x) (x=x) donc E serait tel que \blue (\forall x)(x \in E) . Impossible (au moins en théorie des ensembles).

Posté par
carpediemre : relation binaire 28-09-16 à 18:19

j'ai rien compris ...

Posté par
jsvdbre : relation binaire 28-09-16 à 19:50

Il n'y a aucun ensemble dans lequel la relation x=y soit réflexive.
S'il en existait un ce serait "l'ensemble de tous les ensembles" : pô possible.
(Trop bourbakiste  ? )

Posté par
carpediemre : relation binaire 28-09-16 à 20:28

je ne comprends pas ...

la relation = dans l'ensemble des nombres est une relation d'équivalence ...

et R/= = R

Posté par
jsvdbre : relation binaire 28-09-16 à 22:40

La relation dont tu parles est : \blue  ((x \in \R)~et~(y \in \R)~et~ (x=y)) et l'ensemble quotient est \blue \bigcup_{x\in \R}^{}{\left\{x\right\}}.

La mienne est : (x=y) et il n'y a pas d'ensemble quotient.

Posté par
carpediemre : relation binaire 29-09-16 à 10:39

je te fais confiance ...

mais je ne comprends toujours pas ...

pour parler d'une relation binaire il faut des objets donc un ensemble d'objets et ensuite définir cette relation


ici tu me parles de la relation "x = y" et on ne sait même pas ce que sont x et y ...


probablement que je passe à côté de quelque chose ... mais je ne vois pas ...


lionel52 @ 28-09-2016 à 16:15

Relation sur  R :

xRy ssi "x=y=0"


il y a bien un ensemble et une relation


j'espère que ACHLAF nous donnera la réponse ...

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 12:06

Je pense que le soucis vient de la méconnaissance de la définition du mot relation dans la théorie des ensembles.
Si x et y sont deux objets quelconques, alors "x = y" est une relation (qui sera élévée au rang de théorème lorsque tout objet de x se retrouvera dans y et inversement).
Bien entendu,il faut des objets, x et y en sont. En tant qu'ensemble, ils sont complètement indéterminés. Mais ce sont des ensembles.
Et entre ces objets indéterminés, j'écris la relation x=y.

Question : cette relation est-elle d'équivalence ? Réponse éminemment positive. (au passage, (x=y y=x ) et (((x=y) et (y=z))(x=z)) sont deux théorèmes de la théorie des ensembles)

Question : est-elle réflexive ? Non.
Sinon, il existerait un ensemble E tel que, par définition de la réflexivité (x=x) (xE).
Or, le premier théorème de la théorie de la théorie des ensembles est précisément (x)(x=x).
Donc tout ensemble x vérifie (x=x).
Donc (x)(xE).
Donc E serait "l'ensemble de tous les ensembles", ensemble qui n'existe pas.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 12:14

La formulation précise de la relation sur : xRy (x = y = 0) est :

xRy ((x) et (y) et (x = 0) et (y = 0)).
Son graphe est réduit à {(0,0)}, donc la diagonale de ² n'est pas dans son graphe, donc elle n'est pas réflexive.
N'étant pas réflexive, il n'y a pas de classes d'équivalence.

Posté par
verdurinre : relation binaire 29-09-16 à 12:40

Bonjour jsvdb,
je suis assez ignorant, mais je trouve ton raisonnement bizarre.
Il me semble que l'on peut déduire de ta démonstration que la relation = n'est pas collectivisante, et non qu'elle n'est pas réflexive.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 13:06

Bonjour Verdurin.

Pour collectivisante, tu dois choisir une lettre : x ou y, l'autre étant fixe.
Montrons que Collx(x=y) est un théorème.
Par définition, Collx(x=y) (E)(x)(xE x=y).
Et là E = {y} est la seule solution du membre de droite.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 13:12

Une relation R(x,y) est dite réflexive dans un ensemble E (x)(R(x, x) xE).
Cette définition est complétement indépendante de celle d'une relation d'équivalence.
Aucune des deux n'implique l'autre.

Posté par
verdurinre : relation binaire 29-09-16 à 13:19

Salut jsvdb.

Je considère la relation R(x) définie par x=x.
Et je dis qu'elle n'est pas collectivisante.
Tu as d'ailleurs démontré cette propriété.

Mais ceci n'empêche pas l'égalité d'être réflexive.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 14:10

verdurin @ 29-09-2016 à 13:19

Salut jsvdb.
Je considère la relation R(x) définie par x=x.
Et je dis qu'elle n'est pas collectivisante.


Effectivement, celle-là n'est pas collectivisante puisque x {x}.

verdurin @ 29-09-2016 à 13:19

Mais ceci n'empêche pas l'égalité d'être réflexive.


Si on veut que l'égalité soit réflexive, il faut préciser qu'on travaille dans un ensemble.
Il faut donc avoir xRy (xE et yE et x = y) : R est réflexive.

Mais xR'y (x = y) : R' n'est pas réflexive.

Mais collectivisant et réflexif n'ont rien à voir.
Collectivisant = qui donne naissance à un ensemble (qui est unique par extensionnalité)
Réflexif = il existe un ensemble E dont la diagonale de E² est dans la relation.  (Ce qui est le cas de R et pas de R')

Posté par
verdurinre : relation binaire 29-09-16 à 14:40

Citation :
Réflexif = il existe un ensemble E dont la diagonale de E² est dans la relation.  (Ce qui est le cas de R et pas de R')

Ce n'est pas la définition que je connaissais.
Mais je crois que tu as raison : d'après Bourbaki une relation n'est pas réflexive en général, mais réflexive dans un ensemble donné.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 15:46

Effectivement, Bourbaki E II.40, édition 1970.
Pour définir une relation réflexive, il présuppose l'existence d'un ensemble E tel que bla bla. (A noter que la relation R doit posséder au moins deux lettres distinctes).
A contrario, si on ne trouve pas d'ensemble tel que bla bla, la relation n'est pas réflexive.

verdurin @ 29-09-2016 à 14:40

Citation :
Réflexif = il existe un ensemble E dont la diagonale de E² est dans la relation.

Ce n'est pas la définition que je connaissais.


Effectivement, ce n'est qu'une équivalence de la définition, puisque :
R(x,y) réflexive dans E (x)(R(x,x) xE)
On appelle graphe de la relation R le sous-ensemble E', noté G, de E² tel que (x,y)E', xRy.
Il s'ensuit que R est réflexive la diagonale de E² est dans le graphe de R.

J'en profite pour dire que R sera une relation d'équivalence dans E ((G o G = G) et (G = G-1))

Posté par
carpediemre : relation binaire 29-09-16 à 17:16

dans la dernière ligne : G ou R ?


en tout cas merci pour ce rappel ... et cet échange instructif ... que je vais surement oublier très vite malheureusement ...

Posté par
jsvdbre : relation binaire 29-09-16 à 17:29

G

Posté par
ThierryPomare : relation binaire 29-09-16 à 17:57

Bonsoir,

Citation :
On appelle graphe de la relation R le sous-ensemble E', noté G, de E² tel que (...)


Rectif : Soit R une relation binaire sur E. L'on appelle graphe de R, le sous-ensemble de E^2, noté G, tel que
x\,R\,y\Leftrightarrow(x,\,y)\in{G}

Citation :
J'en profite pour dire que R sera une relation d'équivalence dans E ((G o G = G) et (G = G-1))


Non ! Voir la proposition 1 (E.II.41). Il manque une information importante.

Posté par
verdurinre : relation binaire 29-09-16 à 18:00

À jsvdb.
Juste un petit mot pour finir.

La relation x=y tel que que tu l'as envisagée au départ n'est pas réflexive par définition, car elle n'est pas définie sur un ensemble.

Les démonstrations que tu as données montrent que la relation x=x n'est pas collectivisante. Pas que la relation = n'est pas réflexive.
Bien sur, il est clair que si R est une relation d'arité 2 vérifiant x R(x,x) et que la relation R* définie par R*(x)=R(x,x) est collectivisante alors on peut dire, dans un sens à préciser, que R est réflexive, mais, à mon avis, c'est un abus de langage.
Mais le point clair est qu'une relation R dont la définition ne précise pas qu'elle est définie sur un ensemble E n'est pas réflexive.
Ton contre-exemple m'a stimulé, et m'a appris des choses.
Je t'en remercie
Mais je crois qu'il n'a guère servi à ACHLAF. En ce sens il n'est pas vraiment bon.

Posté par
jsvdbre : relation binaire 30-09-16 à 12:36

ThierryPoma @ 29-09-2016 à 17:57


Citation :
J'en profite pour dire que R sera une relation d'équivalence dans E ((G o G = G) et (G = G-1))

Non ! Voir la proposition 1 (E.II.41). Il manque une information importante.


Oui, je vois ce que tu veux dire, et tu fais bien de relever ce point. (En fait, mes doigts on un peu dépassé ma pensée, puisque je parlais en fait de relation d'équivalence en général).
Mais avant d'arriver à ce qui manque, il faut voir pourquoi on y arrive.
Si R est une relation (binaire, oui, de toute façon, on ne travaille pas avec autre chose que des 2-aire en maths) d'équivalence qui admet un graphe G, alors il existe deux ensemble A et B tels que ce graphe soit contenu dans A x B.
Ce graphe vérifie les deux propriétés ci-dessus et inversement, si un graphe vérifie les deux propriétés ci-dessus, c'est le graphe d'une relation d'équivalence. Les deux propriétés en question n'étant que la traduction de la symétrie et de la transitivité en terme de graphe.

Précisons un peu les ensembles A et B que l'on peut trouver.

Si R est une relation d'équivalence, pour tout x, y on a xRy yRx : donc on peut prendre A = B.
Si maintenant, (\exists x \in A)(\forall y \in A)(non~xRy) alors non~yRx et par suite, je peux restreindre A à pr_1(G), pr_1 désignant la première projection d'un graphe.
Maintenant, la transitivité nous dit xRy et yRx impliquent xRx, donc \Delta_{pr_1(G)} \subset G et R est réflexive dans pr_1(G).

D'où la définition de BOURBAKI :
Soit E un ensemble. On appelle relation d'équivalence dans E, une relation d'équivalence réflexive dans E.

C'est cette définition qui sert couramment de définition à une relation d'équivalence.
On ne parle jamais de relation d'équivalence en général.
Si bien qu'on ne fait jamais la distinction pour une relation entre "être d'équivalence" et "être réflexif". Tout est inclus dans le même package.
Ce qui fait qu'on voit traîner sur les forums des question du genre : "Au secours, je ne comprends pas comment on peut être d'équivalence et pas réflexif, pouvez-vous me donner des exemples ?"
(Et je ne parle pas des distinctions entre relation d'ordre,de préordre, de bon ordre, et du mélange "préordre" + "une certaine équivalence" = "ordre" ...pas le sujet !)

Ensuite, seconde définition :
Soit E un ensemble. On appelle équivalence dans E, une correspondance admettant E comme ensemble de départ et d'arrivée et dont le graphe G est telle que la relation (x,y) \in G soit une relation d'équivalence dans E.

Il s'ensuit la proposition suivante :
Soit E un ensemble et \Gamma une correspondance entre E et E. \Gamma sera une équivalence dans E si et seulement si :
1/ E est l'ensemble de définition de \Gamma (ce qui manquait et qui a été soulevé par TP)
2/ \Gamma = \Gamma^{-1}
3/\Gamma~o~\Gamma = \Gamma

Je conclus en donnant les exemples de BOURBAKI E II.40

1) La relation \blue x=y (tiens, tiens !!) est une relation d'équivalence qui n'admet pas de graphe. Sinon sa première projection serait l'ensemble de tous les objets.

2) La relation \blue x=y~et~x\in E est une relation d'équivalence dans E dont le graphe est la diagonale de E.

3) La relation Il existe une bijection entre X et Y est une relation d'équivalence qui n'admet pas de graphe.

4) La relation \blue x\in E~et~y\in E est une relation d'équivalence dans E dont le graphe est ExE.

5) Soit A E.
La relation \blue (x\in \complement A~et~y=x)~ou~(x\in A ~et~y\in A) est une relation d'équivalence dans E.
Prendre E = et A = [-1,1]. Le graphe est une diagonale avec un carré au centre.

6) La relation \blue x\in \Z~et~y\in \Z~et~(x-y)~est~divisible~par~4 est une relation d'équivalence dans dont le graphe est ... à vous de voir !

Posté par
jsvdbre : relation binaire 30-09-16 à 12:38

@verdurin : mon dernier post devrait pouvoir te répondre.

Après, tout ça m'a donné soif, j'offre une tournée générale.

Posté par
carpediemre : relation binaire 30-09-16 à 17:52

à ta santé ...

Posté par Profil amethystere : relation binaire 05-04-19 à 19:53

jsvdb @ 30-09-2016 à 12:36

  D'où la définition de BOURBAKI :
Soit E un ensemble. On appelle relation d'équivalence dans E, une relation d'équivalence réflexive dans E.

C'est cette définition qui sert couramment de définition à une relation d'équivalence.
On ne parle jamais de relation d'équivalence en général.
Si bien qu'on ne fait jamais la distinction pour une relation entre "être d'équivalence" et "être réflexif". Tout est inclus dans le même package.
Ce qui fait qu'on voit traîner sur les forums des question du genre : "Au secours, je ne comprends pas comment on peut être d'équivalence et pas réflexif, pouvez-vous me donner des exemples ?"


pour trouver la réponse et ne pas dire

"Au secours, je ne comprends pas comment on peut être d'équivalence et pas réflexif, pouvez-vous me donner des exemples ?"


Il faut fouiller comme un forcené pour trouver ton post écrit il y a deux ans et demi sur des millions de posts sur des centaines de forum

en clair j'ai de la chance!

Bon ok merci  JSVDB (là tu me sauve la vie du coup)

Posté par
jsvdbre : relation binaire 05-04-19 à 23:49

Bonjour amethyste.
Je suis ravi d'apprendre que je te sauve la vie (du coup tu as une dette envers moi )
Donc tu cherchais des relations d'équivalences qui ne soient pas réflexives, c'est ça ?
J'en ai une qui soit d'équivalence et pas réflexive : elle est dans la classe des espaces vectoriels complexes de dimension finie.

E\sim G \Leftrightarrow \dim E = \dim G

Et curieusement, bien qu'elle n'ait pas de graphe, elle possède une classe d'objets équivalents que tous les \C^n, n\in\N où on convient que \C^0 = \{0\}

Posté par Profil amethystere : relation binaire 06-04-19 à 00:36

Bonjour JSVDB

"Donc tu cherchais des relations d'équivalences qui ne soient pas réflexives, c'est ça ? "

Non pas tout à fait : en ce moment je " fais" de la logique
enfin je trouve que le verbe faire est abusif en ce qui me concerne (comme d'hab quoi...)

"du coup tu as une dette envers moi"

Oui et sans rigoler (pour moi c'est très sérieux ce que tu dis pour moi les maths c'est comme de la cocaïne pure qui circule dans mon sang  et mon sang c'est ma vie)

je suis tombé sur ton post à 18 heures ce soir et le temps que je pige il était vingt heures

ici tous les magasins sont fermés et quand je tombe sur un truc comme ça , et que je le pige je me cuite bien comme il faut pour faire passer ma digestion

je me cuiterai demain, là je suis au lit et j'essaye de dormir mais ton post résonne dans ma tête et fais du boucan de tous les diables

  

Posté par
mousse42re : relation binaire 06-04-19 à 00:57

ACHLAF @ 28-09-2016 à 16:11

Bonjour;
Pouvez vous me donner un exemple d'une relation binaire non reflexive mais symetrique et transitive .
MERCI!


la relation \forall (x,y)\in E^2,\quad x=y=1

Posté par
mousse42re : relation binaire 06-04-19 à 01:00

Correction :

\forall (x,y)\in E^2,\quad \bigg(x\athcal{R}y\iff x=y=1\bigg)

Posté par
jsvdbre : relation binaire 06-04-19 à 01:03

Ouais m'enfin bon, je sais pas si la cocaïne et la vie ça fait bon ménage ...
Bin pinèze, j'pensais pas qu'on pouvait se cuiter sur ma littérature
C'était la grande époque où j'avais que ça à foutre quand j'étais comptable, histoire de ne pas déprimer dans un boulot qui m'emm**dait ...

Posté par
mousse42re : relation binaire 06-04-19 à 01:09

du moment que c'est des maths cocaïnés ou non ça reste des maths  

Posté par Profil amethystere : relation binaire 06-04-19 à 01:11

les maths (là en ce qui me concerne c'est la logique) c'est stupéfiant

...mais ça brûle la cervelle comme se prendre une bastos : je ne suis pas de ceux qui arrivent à regarder stoïques le soleil en face comme si lui il serait mon égal

je baisse les yeux  

Merci pour tout JSVDB (je vais essayer de dormir de toute façon j'ai mal au crâne et je ne suis plus bon à rien pour ce soir)  

Posté par
mousse42re : relation binaire 06-04-19 à 01:25

Salut jsvdb

je pensais que ton message m'était destiné, je me suis trompé

Posté par Profil amethystere : relation binaire 06-04-19 à 13:16

Salut Mousse

très franchement ça m'étonnerais que ça le f
ache

tr

Posté par Profil amethystere : relation binaire 06-04-19 à 13:18

Salut Mousse

très franchement ça m'étonnerais que ça le fâche
ce qu'il dit est tellement important et puissant que le faire remonter depuis deux ans ça valait le coup et tu y as contribué

en tout cas moi il m'a tué!

j'ai pas dormis de la nuit ni ce matin non plus d'aillleurs et en plus j'ai pas sommeil (et pourtant )

ce soir je me cuite!

Posté par Profil amethystere : relation binaire 06-04-19 à 13:44

mon record c'est une semaine sans dormir (et encore j'ai eu peur je me suis mis sur le lit pour me forcer)

mais c'était encore un truc de maths qui m'avais stupéfié (je crois que c'est en lisant Christophe C  sur les mathématiques .net )

Posté par
jsvdbre : relation binaire 06-04-19 à 16:43

Ha ha ha, dans ce cas tu as de la chance de n'avoir passé qu'une semaine sans dormir ... et pas 20 ans


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