Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Relation d'équipollence
Ramanujan
Bonjour,
On désigne par le plan usuel.
On appelle bipoint de tout couple
de points de
. A un tel bipoint
on associe le segment
qui permet de le représenter.
Lorsque est un parallélogramme, on dit aussi que
est équipollent à
. D'après les propriétés des parallélogrammes, cela équivaut au fait que les segments
et
aient le même milieu.
Plus généralement, lorsque et
sont 2 bipoints quelconques de
, on dit que
est équipollent à
et on note
, si les segments
et
ont le même milieu.
On appelle vecteur du plan toute classe d'équivalence du bipoint du plan pour la relation d'équipollence. Lorsque est un bipoint de
, alors sa classe pour la relation d'équipollence se note
.
Je ne vois pas comment prouver les résultats suivants :
1/ Si sont donnés, il est géométriquement évident qu'il existe un unique point
tel que l'on ait
.
2/ Des considérations de géométrie élémentaire permettent de justifier qu'elle est transitive.
3/ Un vecteur est donc défini comme un ensemble ? Vu qu'une classe d'équivalence est un ensemble...
4/ devient
Mon idée :
D'après le cours si et seulement si
Comme est une relation d'équivalence,
soit
.
Bonsoir,
comme les points A , B et C sont donnés on connaît le milieu O de (B ; C).
Le point D est donc tel que O est le milieu de (A ; D).
Il est unique : c'est le symétrique de A par rapport à O.
Ok merci Verdurin. Pour la 2 on a la figure suivante...
Je n'arrive pas à montrer que est un parallélogramme pour pouvoir affirmer que si :
Si et
alors
Bonjour,
Il faut peut-être placer quelques milieux et les utiliser pour démontrer ABFE parallélogramme.
Vous avez changé la configuration de la figure que j'ai mise. Bon ça change pas grand chose. Mais j'ai du mal à comprendre pourquoi vous avez placé les points .
Comment savez-vous que passe par le point
?
Comment savez-vous que passe par le point
?
Bonjour verdurin,
Je ne vois pas bien à quoi servent les segments verts.
Dans le triangle BCE, le segment des milieux est parallèle à (CE) et de longueur la moitié de CE.
Idem pour le triangle ADF.
Donc (CE) et (DF) sont parallèles et CE = DF .
@Ramanujan,
Vu la propriété rappelée des diagonales qui ont le même milieu, il est évident que les milieux que l'on peut utiliser sont les milieux des diagonales.
Il faut chercher un peu avant de poster.
Les points G, H et I sont les milieux respectifs des segments AB, CD et EF.
Le point Q est le milieu de HI.
Comment savez-vous que
Il reste à démontrer que Q est le milieu de AF et DE.
@Sylvieg j'ai tracé la figure en représentant les triangles dont vous parlez. Mais je n'ai pas compris votre raisonnement avec le triangle . Qu'appelez vous "le segment des milieux" ?
@Verdurin
J'abandonne votre figure trop compliquée, je ne comprends même pas pourquoi Q est le milieu de HI.
Il est évident que est parallèle à
.
Mais je ne vois pas comment utiliser les milieux pour montrer que est parallèle à
.
salut
je ne comprends même pas pourquoi Q est le milieu de HI.
H est le milieu de [CD] donc
I est le milieu de [EF] donc
donc
c'est pourtant de niveau collège ...
bon, vu que c'est écrit avec des vecteurs, on va dire seconde....
malou : certes ... mais cela se faisait au collège ... il fut un temps (tout aussi bien les relation d'équivalence, que la relation d'équipollence qui n'en est qu'un exemple) que les vecteurs ...
Sylvieg : oui et non !!!
j'ai voulu le démontrer avec de la géométrie vectorielle comme on le fait maintenant (sans relation d'équipollence) et d'ailleurs c"est la remarque 2/ du post initial de Ramanujan
mais bon ce n'est pas tout à fait cela non plus mais le principe géométrique est celui-là :
on veut montrer la transitivité donc ce que tu as écrit et on peut le montrer géométriquement avec les milieux et bien sur sans utiliser de vecteurs
Sinon il y a une démonstration « évidente », mais je doute qu'elle plaise.
Les longueurs AB, CD et EF sont égales.
Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
Les couples (A,B), (CD) et (E,F) dont dans le même sens.
Tout ça par transitivité.
Il est donc clair que (ABFE) est un parallélogramme.
Sinon il y a une démonstration « évidente », mais je doute qu'elle plaise.
Les longueurs AB, CD et EF sont égales.
Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
Les couples (A,B), (CD) et (E,F) dont dans le même sens.
Tout ça par transitivité.
Il est donc clair que (ABFE) est un parallélogramme.
C'est plus facile à comprendre mais c'est suffisant d'avoir 2 côtés égaux et parallèles pour avoir un parallélogramme ?
@Sylvieg
J'ai refait une figure en dessinant en rouge les triangles et
. Mais je ne vois pas comment les utiliser.
Dans le triangle BCE on a (BF) 
(O1O2)
Dans le triangle ADE on a (AE) (O1O2)
D'où (BF) ((AE).
Par ailleurs (AB) (EF).
En fait, j'utilise la transitivité du parallélisme.
Merci Sylvieg, j'avais complètement oublié cette propriété des triangle de niveau 4ème 
Et sinon pour le point 3), pourquoi on définit un vecteur comme une classe d'équivalence alors qu'une classe est un ensemble ?
J'ai aussi lu dans mon livre qu'on définissait un nombre rationnel comme une classe d'équivalence. Pourquoi alors qu'un rationnel est un nombre et une classe un ensemble ?
Bonjour
les ensembles sont des éléments comme les autres .... des ensembles dont les éléments sont des ensembles, ça existe, tu connais déjà P(E) ....
Remarque que les rationnels sont explicitement des ensembles de couples, même dans l'usage courant.
Quand on écrit on dit que le couple (2;3) est dans la classe d'équivalence du couple (4;6).
Et le rationnel deux-tiers est l'ensemble des couples (2k;3k) avec k entier relatif non nul.
[ . . . ]
C'est plus facile à comprendre mais c'est est-ce suffisant d'avoir 2 côtés égaux et parallèles pour avoir un parallélogramme ?
Non, c'est pourquoi j'ai rajouté quelque chose sur le « même sens ».
Je rajouterais volontiers une remarque désobligeante.
Quand je pense que ramanujan prétendait passer le CAPES .... faudrait peut-être commencer par récupérer un BON niveau de collège avant de t'attaquer à un cours de bac+1, non ?
Oui "le même sens" pour désigner les vecteurs.... Car ABDC est un parallélogramme si et seulement si
Oui Lafol j'ai oublié des propriétés de géométrie du collège, vu qu'on ne fait plus de géométrie au lycée 
Bonjour,
Pour conclure, je pense que raisonner avec les milieux est trop compliqué !
Sinon il y a une démonstration « évidente », mais je doute qu'elle plaise.
Les longueurs AB, CD et EF sont égales.
Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
Les couples (A,B), (CD) et (E,F) dont dans le même sens.
Tout ça par transitivité.
Il est donc clair que (ABFE) est un parallélogramme.
Si on cherche la petite bête, traiter à part le cas A=B ?
Bonjour !
Le but étant de définir un "vecteur" il est clair que toute solution utilisant des n'est pas acceptable, ni des solutions évoquant des translations.
Reste à savoir ce qui est supposé connu dans le "livre" Ramanujan : que veut dire "plan usuel" ?
Si on admet la propriété des symétries centrales : l'image d'une droite est une droite parallèle (théorème de Thalès) alors la figure "parallélogramme" donne des vecteurs équipollents.
Je préfère éviter de mélanger les longueurs à ce stade. Ou alors les définir (sans utiliser de vecteurs) ce qui n'est pas simple !
Bonjour,
Pour conclure, je pense que raisonner avec les milieux est trop compliqué !
Sinon il y a une démonstration « évidente », mais je doute qu'elle plaise.
Les longueurs AB, CD et EF sont égales.
Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
Les couples (A,B), (CD) et (E,F) dont dans le même sens.
Tout ça par transitivité.
Il est donc clair que (ABFE) est un parallélogramme.
Si on cherche la petite bête, traiter à part le cas A=B ?
Que veut dire que
Les définitions données ne parlent pas de sens.
Autre chose, il est aussi noté dans mon livre que :
Pour dire que le bipoint appartienne à la classe d'équivalence de
on écrit :
Si l'on privilégie dans le plan un point que l'on nomme origine, alors pour tout vecteur
du plan défini par un de ses représentants
, il existe un unique point
tel que :
D'où provient l'unicité ?
Impossible de répondre sans savoir ce que signifie "plan usuel".
Bon, on essaie :
Le point U ne peut être que l'image du point O par une symétrie centrale. Laquelle ?
D'où provient l'unicité ? Alzheimer juvénile ?
Bonsoir,
comme les points A , B et C sont donnés on connaît le milieu O de (B ; C).
Le point D est donc tel que O est le milieu de (A ; D).
Il est unique : c'est le symétrique de A par rapport à O.
D'où provient l'unicité ? Alzheimer juvénile ?
Bonsoir,
comme les points A , B et C sont donnés on connaît le milieu O de (B ; C).
Le point D est donc tel que O est le milieu de (A ; D).
Il est unique : c'est le symétrique de A par rapport à O.
Un point obtenu à partir d'une symétrie n'est pas unique ?
Impossible de répondre sans savoir ce que signifie "plan usuel".
Bon, on essaie :
Le point U ne peut être que l'image du point O par une symétrie centrale. Laquelle ?
Je ne vois pas de quelle symétrie vous parlez.
Déplace toi dans une pièce réfrigérée. Repose toi, puis fais une figure avec 3 points : O, A et B.
Et cherche un peu le milieu qui peut intervenir.
Bon, moi aussi je dois me rafraichir :
Avec ,
Le point U ne peut être que l'image du point A par une symétrie centrale. Laquelle ?
est l'image de
par la symétrie centrale de centre le milieu de
.
Pourquoi vous revenez toujours aux symétries centrales ? C'est quoi le rapport avec l'unicité du point construit ?
J'y reviens car
Plus généralement, lorsque (A,B) et (C,D) sont 2 bipoints quelconques de
Et si tu te concentrais sur un seul fil ?
Ok j'ai une autre question : n'y a-t-il pas une coquille dans le passage suivant ?
Pour dire que le bipoint appartienne à la classe d'équivalence de
on écrit :
Si l'on privilégie dans le plan un point que l'on nomme origine, alors pour tout vecteur
du plan défini par un de ses représentants
, il existe un unique point
tel que :
On a défini les vecteurs comme une classe d'équivalence. Pourquoi on parle de la classe d'équivalence de ? Pourquoi on parle d'un de ses représentants
?
Un représentant est un élément de la classe pas la classe elle même.
Je ne comprends pas cette confusion entre classe et élément de la classe dans ce passage
Bonsoir,
il y a effectivement une erreur.
Le vecteur est une classe d'équivalence et si
on note aussi
cette classe.
Pour dire que le bipoint
On peut remarquer aussi que le fameux livre sait conjuguer "appartenir", contrairement à ce qu'on aurait pu penser en lisant ce que Ramanujan croyait y avoir vu .....
En vrai ça prouve qu'il écrit ses énoncés sur le forum avant de les lire, et que quand il relit, il relit l'énoncé plein de fautes qu'il a posté sur le forum 
Excusez-moi pour cette erreur mais dans le passage suivant : "l'un de ses représentants " je vois une coquille.
est une classe par un représentant
Bonjour,
La relation
définit sur (et en aucun cas sur
!) une relation d'équivalence, notée
. Considérons alors l'ensemble quotient
, ainsi que la surjection canonique
. C'est alors que, pour tout élément
de
, la fibre de
au dessus de
, i.e.
se compose de tous les représentants de dans
modulo
.
Il serait bien maintenant de construire (si cela est possible !) les lois quotients (interne et externe) sur de manière à le munir d'une espèce de structure d'espace vectoriel, disons sur
.
Annuler
connectez vous
géométrie en post-bac