La transitivité est automatique.
La reflexivité resulte de celle de la relation originelle, en lisant la chaine de relation dans l'autre sens.

salut

un , un ... utilisons tout simplement la lettre R ...

il est dit que R est réflexive et symétrique !! donc il ne te reste que la transitivité à vérifier ...

or on te dit que x R y si il existe une suite d'éléments de E telle que

donc en particulier tu en déduis que si

c'est la suite

Erratum: j'ai ecrit
"La reflexivité resulte de celle de la relation originelle, en lisant la chaine de relation dans l'autre sens."
J'aurai du ecrire
"La symétrie resulte de celle de la relation originelle, en lisant la chaine de relation dans l'autre sens."

Bonjour,
Je pense qu'il y a deux relations distinctes :
Celle de départ, , que l'on peut noter R pour simplifier l'écriture, qui est réflexive et symétrique.
Une autre, , que l'on peut noter S pour simplifier l'écriture.

On a x R y x S y . Il suffit de poser x₁ = y .

Je dirais que :
La réflexivité de S se déduit immédiatement de celle de R .
La symétrie de S se démontre comme suggéré par Poncargues.
La transitivité de S nécessite de mettre bout à bout deux suites.

J'ai compris  maintenant .

•  Soient x et y deux éléments de E tels que  x S y ( S nouvelle notation  de psi) ,
Par définition il existe  



et  

, mais comme  R est symétrique  on a :




et

,

donc  y S x et donc  S est symétrique.

• soient x, y, z trois éléments de  E tels que  x S y  et y S z, alors  ils existent     et deux suites finies (x) et (x') tels que  :

et ,  0=<t=<p-1



, 0=<t=<q-1

Posons  r=p+q



, 0=<t=<r-1,

donc x S z et donc S est transitive .

C'est  bon ?

x R x => x S x ... en considérant la suite (x, x) donc S est réflexive

x S y =>  x R x_1 R x_2 R ... R y => y R ... R x_2 R x_1 car R est symétrique donc y S x et S est symétrique

x S y et y S z => xR x_1 Rx_2 R ... R y et y R y_1 R y_2 R ... R z <=> x R x_1 R ... R y R y_1 R ... R z => x S z donc S est transitive

...

Merci beaucoup carpediem !

de rien