bonjour
permettez moi de vous aider.

1)  ABC est un triangle.  

soit M un point quelconque du plan.
  
MA.BC + MB.CA + MC.AB = MA.BC+(MA+AB).CA+(MA+AC).AB
                                          = MA.BC+MA.CA+AB.CA+MA.AB+AC.AB
                                          = MA.(BC+CA+AB)+AB.CA-AB.CA
                                          = MA.BB + 0
                                          =0



2) Application

Montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.  ?

soit H le point d'intersection des hauteurs AH et CH au segment BC
et AB respectivement.

comme AH est perpendiculaire à BC alors HA.BC=0

comme CH est perpendiculaire à AB donc HC.AB=0

or d'apprès la question 1

pour tout point M du plan on a:

MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0

en particulier si M=H on a:

HA.BC+HB.CA+HC.AB=0

comme HA.BC=0 et HC.AB=0

donc HB.CA=0  
donc HB est perpendiculaire à CA
donc HB et la troisième hauteur du triangle ABC issue de B.
comme elle passe par H
donc H est le point d'intersection des trois hauteurs du triangle
ABC.

donc les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en H.

voila
bon courage.